Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
4.3.4. Многомерные теоремы об устойчивости
Все теоремы об устойчивости
предыдущего раздела можно обобщить на многомерный случай. Хотя формулировка
этих теорем очевидна, их практическое использование далеко не очевидно. Объем
вычислений и необходимость сохранения точности вычислений делают практическое использование
теорем об устойчивости более высокого порядка серьезной проверкой искусства
программиста. Как и в двумерном случае, следует рассмотреть многомерные аналоги
тестов на устойчивость только для первого квадранта, поскольку любой 
-мерный фильтр с
опорной областью в виде сектора можно отобразить на фильтр с опорной областью
на -мерном
аналоге первого квадранта.
Теорема (Джастис и Шэнкс [8]). Пусть
является
рекурсивным фильтром первого квадранта, т. е. 
везде, кроме 
, 
, …, 
. Этот фильтр устойчив тогда и только
тогда, когда 
для
любой точки 
,
такой, что 
,
или 
, или …,
или 
.
Двумерная теорема об устойчивости
Хуанга была обобщена на многомерный случай Андерсоном и Юри [21].
Теорема (Андерсон и Юри). Пусть является рекурсивным
фильтром первого квадранта. Такой фильтр устойчив тогда и только тогда, когда
выполняются следующие условия:
при
,
при
и 
…
при
и 
,
при
и 
.
-мерный
вариант теста Де Карло-Стринтциса очень похож на двумерный. Он был открыт
одновременно Де Карло и др. [12] и Стринтцисом [13].
Теорема (Де Карло-Стринтцис).
Пусть является
рекурсивным фильтром первого квадранта. Такой фильтр устойчив тогда и только
тогда, когда выполняются следующие условия:
а) 
для , 
, …, 
,
б) 
для 
для каждого 
.
Эквивалентное
утверждение состоит в том, что развернутая фазовая функция 
должна быть периодической и
непрерывной.
Согласно этой теореме, тест на
устойчивость состоит из одномерных тестов на устойчивость и
исследования нулей на -мерной единичной поверхности 
.
Если функция 
имеет полином-числитель 
, взаимно простой с 
, то эти теоремы
являются достаточными условиями устойчивости. Они являются необходимыми в том
случае, если на -мерной
единичной поверхности не имеется несущественных особенностей второго рода.
