1.2.8. Опорные области

При изучении одномерных систем оказалось полезным характеризовать систему как казуальную, если ее выходной сигнал не мог предшествовать входному. Такие системы полезны при обработке сигналов, для которых в качестве независимой переменной выступает время, поскольку указанное ограничение физически обосновано и к тому же позволяет создавать системы, работающие в реальном масштабе времени.

Для большинства двумерных систем независимые переменные не связаны с временем, и казуальность не является естественным ограничением для таких систем. Однако при рассмотрении реализации систем мы вынуждены обратиться к обобщению понятия физически реализуемой системы.

Импульсный отклик  физически реализуемой одномерной ЛИС-системы равен нулю при . Соответственно обобщением понятия физической реализуемости может быть требование, чтобы импульсный отклик был равен нулю вне некоторой опорной области.

Выше мы обсуждали частный случай последовательностей с опорной областью конечной протяженности. Последовательности, отличные от нуля только в одном квадранте плоскости , представляют собой другой важный частный случай. О таких последовательностях можно сказать, что они имеют опорную область в виде квадранта. Понятие опоры на квадрант можно обобщить включением опорных областей в форме сектора. Говорят, что последовательность имеет опорную область в виде сектора, если она имеет ненулевые значения только в пределах сектора, ограниченного двумя прямыми, исходящими из начала координат, при условии что угол между двумя прямыми строго меньше 180°. Пример последовательности с опорной областью в виде сектора приведен на рис. 1.17,а.

Рис. 1.17.

а - последовательность с опорной областью в виде сектора; б - последовательность с опорной областью в виде квадранта, полученная из последовательности а путем линейного преобразования переменных при значениях  и ; маленькие кружки обозначают отсчеты с нулевыми значениями.

Любую последовательность, опирающуюся на сектор, можно отобразить в последовательность, опирающуюся на квадрант, путем линейного преобразования переменных [4]. Например, предположим, что векторы

,                         (1.60)

расположены вдоль границ секторной области (, ,  и  - целые числа). Предположим далее, что пары чисел  и , а также  и  не имеют общих множителей. Поскольку  и  не коллинеарны, то

.               (1.61)

Тогда замена переменных

,                 (1.62)

отобразит наш сектор на первый квадрант. Приведенное преобразование не является единственным. В данном случае вектор  отображается на , а вектор  - на . На рис. 1.17,б показан результат отображения сектора из рис. 1.17,а на первый квадрант. Поскольку в данном примере , не каждая точка первого квадранта рис. 1.17,б лежит в области линейного преобразования (1.62). В плоскости  будут иметься отсчеты, на которые не получит отображения ни один отсчет из плоскости . Это - следствие использования дискретных сигналов: мы выполняем отображения целочисленного вектора  на другой целочисленный вектор . Можно показать, что необходимым и достаточным условием того, чтобы каждая целочисленная упорядоченная пара из первого квадранта плоскости  лежала в области линейного преобразования, является условие .