7.1.1. Итеративные методы обращения свертки при наличии ограничений

Если искажающий оператор линеен и инвариантен к сдвигу, можно записать

.                                                    (7.8)

В этом случае задача восстановления сводится к задаче обращения свертки, и итерационное соотношение можно записать в следующем виде:

,                                                                   (7.9а)

,                  (7.9б)

где

.                                                   (7.9в)

Для нахождения фиксированной точки уравнения (7.96) рассмотрим систему без ограничений, в которой  - просто тождественный оператор. Выполнив преобразование Фурье, получим

.       (7.10)

Это одномерное разностное уравнение первого порядка по индексу  с коэффициентами, являющимися функциями . В этой интерпретации входом разностного уравнения является «последовательность» , импульсным откликом - функция , а выход записывается в виде

,              (7.11)

где  - одномерная ступенчатая последовательность, определенная в гл. 1. В пределе, когда , получим

,                                                     (7.12)

при условии что

.                                                                         (7.13)

Выход получается таким же, как и при использовании инверсного фильтра, но на самом деле реализации инверсного фильтра не требуется. Одним из преимуществ итерационной процедуры является то, что ее можно прекратить после конечного числа итераций в точке, когда выход, полученный в результате итерации, субъективно будет выглядеть лучше, чем выход инверсного фильтра.

Использование подобной итерации для вычисления обратной свертки было предложено Ван Циттертом в 1931 г. [2]. Исследование условия сходимости (7.13) показывает, что процедура не сходится при  для любых . По существу критерий сходимости (7.13) эквивалентен условию

.                                                                        (7.14)

Если функция  удовлетворяет условию (7.14), то можно найти такое , что будет выполняться условие (7.13). Есть два способа расширения этого критерия сходимости. Первый связан с введением нетривиального оператора ограничений , а второй - с модификацией итерации. Сначала кратко рассмотрим второй способ.

Если мы свернем обе части уравнения (7.8) с , то получим

, (7.15)

или

,                                                   (7.16)

где

.

Сигнал  является искаженным входным сигналом, но теперь частотный отклик искажающего оператора удовлетворяет условию (7.14) при . Таким образом, итерация, основанная на уравнении (7.16), безусловно, сходится, если . Это очень похоже на модификацию, которая была выполнена для итеративной реализации рекурсивных фильтров в гл. 5.

Поскольку основная схема итерации без ограничений сходится к решению для инверсного фильтра, она обладает большей частью нежелательных свойств, присущих инверсной фильтрации. В частности, результат операции обращения свертки не является единственным при . Оператор ограничений часто позволяет обойти эту трудность. В некоторых приложениях, например, естественно предположить, что сигнал  имеет опорную область конечной протяженности и в этой опорной области положителен. Ограничения положительности и конечной опорной области можно включить в алгоритм вычислений путем введения оператора ограничений следующего вида:

         (7.17)

Реализация итерации (7.96) относительно проста как в одномерном, так и в двумерном случаях. При этом требуемую свертку можно выполнить, используя стандартные методы дискретного преобразования Фурье.

Пример применения этого метода приведен на рис. 7.1 [1]. В этом случае двумерная гауссова последовательность, определяющая смаз

,                                                         (7.18)

свернута с последовательностью вида

,                           (7.19)

в результате чего возникает двумерная последовательность , изображенная на рис. 7.1,б. На рис. 7.1,в приведен результат обращения свертки после 65 итераций согласно уравнению (7.9) при  и с ограничением положительности.

Рис. 7.1. Обращение двумерной свертки с ограничением на положительность модельных входных данных.

а - гауссова функция рассеивания ; б - последовательность , полученная в результате свертки  с парой импульсов; в - оценка пары импульсов, полученная после 65 итераций при . (С любезного согласия Рональда В. Шафера, Расселла М. Мерсеро и Марка А. Ричардса. Proc. IEEE, © 1981 IEEE.)

Во многих практических приложениях искажения не инвариантны к сдвигу. В одномерном случае соответствующий искажающий оператор дисторсии можно описать в виде

,                                       (7.20)

где  - отклик системы на единичный импульс в точке . Например, функция  может описываться выражением

.                                    (7.21)

В этом случае откликом искажающей системы на импульс  является импульс гауссовой формы со стандартным отклонением  и максимумом при . Например, если на вход системы, не инвариантной к сдвигу со стандартным отклонением

,                                                   (7.22)

поступает сигнал (рис. 7.2,а)

,                                       (7.23)

то мы получим выходной сигнал, показанный на рис. 7.2,б.

Рис. 7.2. Восстановление с ограничением на положительность после смаза, не инвариантного к сдвигу.

а - исходная последовательность импульсов ; б - смазанная последовательность ; в - результат, полученный после 500 итераций при допущении, что смаз инвариантен к сдвигу; г - результат, полученный после 500 итераций с использованием точного описания, не инвариантного к сдвигу смаза. (С любезного согласия Рональда В. Шафера. Расселла М. Мерсеро и Марка Л. Ричардса. Proc. IEEE. © IEEE. Впервые рисунок опубликован в работе Маруччи [3].)

Если  вычисляется по итерационному алгоритму с ограничениями положительности и конечной опорной области и в предположении (неправильном), что искажение инвариантно к сдвигу и имеет импульсный отклик

,                                                (7.24)

то после 500 итераций получается результат, приведенный на рис. 7.2,в. Видно, что первые четыре или пять импульсов восстановлены неплохо, однако последующие импульсы, смаз которых значительно сильнее, чем по формуле (7.24), не восстанавливаются. При использовании истинного, не являющегося инвариантным к сдвигу искажающего оператора получается результат, приведенный на рис. 7.2,г. Следует заметить, что для импульсов с наибольшей степенью смаза восстановление является менее точным [1, 3]. Для полного восстановления этих импульсов требуются дополнительные итерации.

Родственный этому методу метод итерационного восстановления, основанный на стохастическом подходе, описан Трасселом [4]. Этот метод также дает хорошие результаты.