6.1.2. Фильтрация в пространстве волновое число-частота

При обработке сигналов, являющихся пространственно-временной функцией, нас часто интересует выделение компонент сигнала с определенными частотами и скоростями распространения (как по величине, так и по направлению). Эту задачу можно сформулировать как задачу многомерной фильтрации [3]; она аналогична разделению частотных компонент одномерного сигнала с помощью полосовых фильтров. Предположим, например, что спектр сигнала  по волновому числу и частоте описывается функцией , определяемой выражением (6.1). Представим себе, что мы пропускаем этот сигнал через четырехмерный линейный инвариантный к сдвигу фильтр с импульсным откликом  и получаем выходной сигнал . Импульсный отклик фильтра выбирается таким образом, чтобы пропустить интересующие нас компоненты сигнала и подавить ненужные, например компоненты аддитивного шума. Входной и выходной сигналы связаны между собой непрерывным четырехмерным интегралом свертки

.               (6.7)

В пространстве волновое число – частота выходной спектр равен произведению входного спектра и отклика фильтра по волновому числу и частоте

.                                     (6.8)

Для выделения искомых компонент сигнала необходимо построить отклик фильтра  по волновому числу и частоте таким образом, чтобы он был близок к единице в выбранных областях пространства  и к нулю во всех остальных. Таким образом, если мы хотим пропустить компоненты сигнала в некоторой узкой полосе частот вокруг  независимо от значения скорости и направления распространения, то функция  примет вид одномерного полосового частотного отклика, не зависящего от . Если мы хотим выделить компоненты сигнала с заданной частотой, скоростью и направлением распространения, то функция  будет иметь вид четырехмерного полосового фильтра, центр полосы пропускания которого соответствует заданным значениям .

Этот общий подход к фильтрации осложняется двумя основными обстоятельствами: сигнал  обычно известен не для всех точек пространства , а значение отфильтрованного сигнала  обычно необходимо знать только для одной точки пространства. Тем не менее общий подход полезен как некая общая схема изучения систем, обрабатывающих сигналы, передаваемые с помощью распространяющихся в пространстве волн.