5.2.2. Обобщения итерационной схемы

Пожалуй, самым неприятным ограничением итерационной схемы, описанной в предыдущем разделе, является существование устойчивых БИХ-фильтров, не удовлетворяющих условию сходимости (5.22). Такие фильтры нельзя реализовать с помощью итерационных вычислений. В этом разделе мы обсудим некоторые обобщения, позволяющие выполнять итерационную реализацию любого устойчивого БИХ-фильтра.

Для упрощения выкладок рассмотрим частный случай, когда полином-знаменатель  является чисто вещественной и строго положительной функцией

.                                                                                  (5.30)

Требуемый частотный отклик БИХ-фильтра можно записать следующим образом:

,                                           (5.31)

где константа  - параметры, которые требуется определить. Теперь можно переопределить  в виде

.                                                             (5.32)

Как и выше, построим итерационное выражение для нахождения частотного отклика

.                   (5.33)

Условие сходимости  остается без изменения, однако теперь функция  содержит свободный параметр . Поскольку мы приняли, что функция  строго положительна, то получается, что  для положительных значений . Для выполнения условия сходимости остается потребовать, чтобы выполнялось условие . Этого можно добиться, выбирая константу  в интервале

.                                                                (5.34)

В результате обеспечивается выполнение условия . Случай, когда функция  вещественна и положительна, имеет определенную практическую ценность, поскольку он включает в себя некоторые симметричные двумерные БИХ-фильтры, используемые в обработке изображений.

В более общем случае  представляет собой комплексную тригонометрическую полиномиальную функцию, которая для устойчивого двумерного БИХ-фильтра удовлетворяет условию

.                                                                                  (5.35)

Для этого общего случая отклик  можно записать в виде

.                        (5.36)

Здесь в знаменателе стоит вещественная и положительная функция , что дает возможность повторить приведенные выше выкладки. Переопределив функцию

,                                                          (5.37)

получим новое итерационное выражение:

.             (5.38)

Как и ранее, функция  должна удовлетворять условию сходимости . Это обеспечивается выбором константы  в интервале

.                                                              (5.39)

Итерационное выражение (5.38) позволяет реализовать любой устойчивый двумерный рациональный частотный отклик и, кроме того, обладает еще некоторыми интересными свойствами. Например, легко показать, что фаза спектра сходится к нужному значению после первой же итерации. Это можно выразить следующим образом:

 для                                         (5.40)

с учетом .

Этот интересный факт объясняется тем, что фаза  совпадает с фазой . Поэтому

                    (5.41)

Последующие итерации лишь уточняют амплитуду спектра.

Итерационное выражение (5.38) обладает большей общностью по сравнению с более простым выражением (5.17) в том смысле, что позволяет реализовывать более широкий класс частотных откликов. С другой стороны, оно требует большего объема вычислений. Входной сигнал  должен подвергаться фильтрации последовательно соединенными фильтрами  и , а не одним фильтром . КИХ-фильтр, соответствующий функции , также оказывается более сложным, он требует примерно вдвое больше вычислений по сравнению с реализацией прямой сверткой.

Переопределение функции , не изменило соотношение между ошибкой  и функцией . Повторим для удобства это соотношение:

.                          (5.42)

Если в какой-то полосе частот функция  близка к нулю, то ошибка  в этой полосе частот будет быстро приближаться к нулю по мере увеличения номера итерации. Наоборот, если для некоторой спектральной области функция  близка к 1, то ошибка в этой области будет оставаться значительной даже после нескольких итераций.

Иногда желательно иметь возможность перераспределять ошибки в частотной плоскости, например, для того, чтобы распределить их более равномерно по всей полосе частот или, наоборот, чтобы уменьшить ошибки в пределах более важной полосы частот за счет относительно менее важной полосы. Этого можно добиться с помощью еще одного обобщения. Вместо множителя  в выражениях (5.36) и (5.37) можно использовать более общую частотно-зависимую функцию релаксации . Тогда можно записать

                           (5.43)

и снова переопределить функцию  следующим образом:

.                       (5.44)

Тогда итерационное выражение примет вид

.                 (5.45)

Теперь следует так выбрать , чтобы в важной для нас полосе частот выполнялось условие . [Теоретически можно было бы выбрать функцию  и ограничиться одной итерацией, но реализовать  непосредственно невозможно.] Из практических соображений мы ограничиваемся функциями , которые являются частотными откликами КИХ-фильтров. Расширив пространственную протяженность обратного преобразования Фурье функции , можно принудительно уменьшить . Однако чем больше пространственная протяженность, тем больше объем вычислений на каждой итерации выражения (5.45); таким образом, приходится идти на компромисс между объемом вычислений на каждой итерации и числом итераций, требуемых для снижения ошибки  до допустимого значения в заданной полосе частот.