7.3.7. Методы восстановления при использовании веерных пучков

Восстановление сигналов по проекциям (в особенности в приложении к компьютерной томографии) является областью активных научных изысканий. В предыдущих разделах мы скорее пытались очертить круг возможностей этих методов, чем дать развернутое представление о состоянии проблемы. Существуют более сложные варианты всех трех типов алгоритмов, дополняющие и развивающие рассмотренные нами простые алгоритмы. Однако прежде чем закончить рассмотрение этих вопросов, следует сказать несколько слов по поводу обобщения задачи восстановления, особенно важной в компьютерной томографии, а именно: рассмотреть случай восстановления при использовании веерных пучков.

До этого момента мы полагали, что проекции получены с помощью коллимированного пучка излучения. В математическом выражении это означало, что проекции получены путем интегрирования вдоль набора параллельных прямых. Однако коллимирование рентгеновских лучей приводит к увеличению времени облучения для накопления необходимого объема данных. Большое время измерений приводит к появлению побочных эффектов в задачах восстановления в области сердца и легких из-за движения объектов. Выходом из положения является применение неколлимированных веерных пучков, как показано на рис. 7.19. Как и ранее, такие проекции можно описать наборами линейных интегралов по прямым линиям, которые в данном случае непараллельны друг другу. Использование веерных пучков вместо коллимированных заметно усложняет задачу восстановления. Во-первых, проекции с использованием веерных пучков должны быть получены в полном диапазоне углов, равном 360°. В случае коллимированного пучка достаточно измерения проекций в диапазоне 180°, поскольку противоположные проекции под углом 180° несут одну и ту же информацию. Восстановление при веерном проецировании усложняется также и тем, что в этом случае несправедлива теорема о проекционном срезе. Поэтому для случая веерных пучков не существует обобщения интерполяционных алгоритмов. Правда, другие два подхода - итерационный и обратной проекции - допускают такое обобщение.

Рис. 7.19. Проекции в веерном пучке.

Итерационные равенства (7.&5), которые использовались для случая коллимированнсго пучка, можно использовать для веерных пучков, если просто переопределить оператор . Этот оператор следует выбрать таким, чтобы можно было вычислить проекцию в веерном пучке под углом , а затем выполнить обратное проецирование для веерного пучка.

Херман и др. [23] обобщили алгоритм обратной проекции на случай расходящегося пучка путем вывода соответствующего этому случаю варианта формулы обращения Радона. Рассмотрим их подход, для чего удобно использовать схему, изображенную на рис. 7.20. Центр исследуемого объекта располагается в точке . Источник рентгеновского излучения расположен в точке , которая лежит на описанной вокруг точки  окружности радиуса . Как и в случае коллимированного пучка, положение, или ориентация источника, будет обозначаться буквой . Любую проекцию под углом  можно описать с помощью параметра , равного расстоянию . Линия  параллельна решетке детекторов и проходит через центр объекта, изображение которого требуется восстановить. Для описания объекта  воспользуемся полярными координатами  и , а буквой  обозначим центр координатной системы при восстановлении.

Рис. 7.20. Иллюстрация параметров алгоритма восстановления в веерном пучке [23].

Как и в случае параллельного пучка, восстановление осуществляется в два этапа. Сначала проекции фильтруются, затем осуществляются обратное проецирование, взвешивание и суммирование. Для проведения фильтрации данные исходной проекции  вначале взвешиваются с помощью функции , а затем сворачиваются с последовательностью-ядром . В результате получится

,                                         (7.66)

где

 и                                                                (7.67)

                               (7.68)

Параметр  является шагом дискретизации по переменной . Весовая последовательность  необходима для внесения поправок, связанных с естественным уменьшением интенсивности расходящегося пучка. Ядро  аналогично дискретному ядру Радона для случая параллельного пучка. Следует отметить, что как весовая функция , так и импульсный отклик фильтра  не зависят от ориентации проекции .

Неизвестную плотность можно восстановить путем обратного проецирования и взвешивания

.                           (7.69)

[Функция  символизирует операцию интерполяции, которую надо осуществить по отношению к параметру .] Обратное проецирование должно осуществляться таким образом, чтобы оно было согласовано с исходным расходящимся пучком. Абсцисса  должна быть линейно растянута или сжата, а при конкретных вычислениях необходимо осуществить интерполяцию отфильтрованных проекций. Весовая функция  описывается следующим выражением:

,                                                     (7.70)

где

.                                                (7.71)

Это обеспечивает взвешивание обратной проекции в любой точке с весом, обратно пропорциональным квадрату расстояния этой точки от текущего положения источника рентгеновских лучей.