6.1.1. Элементарные сигналы
Элементарные сигналы вида
(6.2)
представляют
собой плоские волны. Используя четырехмерное преобразование Фурье
, (6.3)
легко
убедиться, что любой сигнал
можно представить как суперпозицию
плоских волн. Определив вектор
в виде
, (6.4)
можно
записать выражение (6.2) следующим образом:
. (6.5)
Таким образом, функцию
можно рассматривать
как плоскую волну, распространяющуюся в направлении
со скоростью, равной
. Поскольку величина
обратна величине
скорости распространения, то вектор
иногда называют вектором замедленности.
Выполнив преобразование Фурье
(6.1) элементарного сигнала
, получим
, (6.6)
представляющий
собой четырехмерный импульс (дельта-функцию Дирака) в пространстве
в точке
и
. Таким образом,
каждая точка пространства
соответствует плоской волне в
пространстве
с
определенной ориентацией и частотой [2, 3].
Рассмотрим упрощенные изображения
пространства
на
рис. 6.1. Переменная
представляется вертикальной осью, а
переменные
и
-
горизонтальной плоскостью. (Для упрощения рисунков мы на время пренебрегаем
переменной
.)
Из рис. 6.1,а видно, что все компоненты сигнала при одной и той же частоте
лежат в плоскости,
параллельной плоскости
. Компоненты сигнала с одной и той же
скоростью распространения
будут лежать на поверхности конуса, как
показано на рис. 6.1,б, поскольку
. Компоненты сигнала, распро-
страняющиеся в одном и том же
направлении, расположены на полуплоскости, перпендикулярной плоскости
, поскольку
направление распространения указывается направлением вектора
(рис. 6.1,в). В
некоторых случаях нас также будут интересовать сигналы, лежащие на пересечении
этих поверхностей. Например, компоненты сигнала с одной и той же скоростью и
одним и тем же направлением распространения лежат на линии, образованной
пересечением конуса, изображенного на рис. 6.1,б, и полуплоскости, изображенной
на рис. 6.1,в.
Рис. 6.1. Расположение точек в
-пространстве,
соответствующее сигналам с одинаковыми частотой
(а), скоростью (б) и направлением (в)
распространения