1.2. Многомерные системы

Системы служат для преобразования сигналов. Формально система - это оператор, отображающий один (входной) сигнал на другой (выходной). На рис. 1.9 это простое положение проиллюстрировано на примере системы, отображающей  на . Оператор, воплощенный в этой системе, обозначен через , поэтому можно написать

.                   (1.21)

Рис. 1.9. Графическое изображение системы.

 - входная последовательность;  - выходная последовательность.

Оператор  может представлять собой правило или набор правил, по которым происходит отображение входного сигнала на выходной, или даже таблицу соответствия выходных сигналов различным входным сигналам.

В этом разделе мы рассмотрим несколько простых, но весьма полезных многомерных систем. В частности, мы обратим особое внимание на свойства линейных систем инвариантных к сдвигу. Однако перед этим мы обсудим некоторые простые операции, которые можно выполнять над многомерными дискретными сигналами.

1.2.1. Основные операции над многомерными сигналами

Сигналы можно объединять или изменять с помощью множества операций. Здесь мы опишем несколько основных операций над сигналами, которые выступают в качестве «кирпичиков» при разработке более сложных систем.

Пусть  и  - двумерные дискретные сигналы. Эти сигналы можно сложить и получить третий сигнал . Сложение выполняется поэлементно, так что значение каждого отсчета  получается путем сложения двух соответствующих отсчетов  и

.                 (1.22)

Умножая двумерные последовательности на константу, можно также получать новые последовательности. Если  - константа, мы можем образовать двумерную последовательность  из скаляра  и двумерной последовательности , умножив значение каждого отсчета  на :

.                      (1.23)

Двумерную последовательность  можно подвергнуть линейному сдвигу, что также приведет к образованию новой последовательности . Операция сдвига попросту переносит всю последовательность  на новый участок плоскости . Значения отсчетов  связаны в этом случае со значениями отсчетов  соотношением

,                    (1.24)

где  - величина сдвига. Пример сдвига двумерной последовательности приведен на рис. 1.10.

Рис. 1.10. Операция сдвига двумерной последовательности

Используя базовые операции, сложения, скалярного умножения и сдвига, можно разложить любую двумерную последовательность на сумму взвешенных и сдвинутых двумерных единичных импульсов

.                       (1.25)

Здесь  представляет собой единичный импульс, сдвинутый так, что его ненулевой отсчет находится в точке ; значения  можно рассматривать как скалярные множители для соответствующих единичных импульсов.

Стоит упомянуть еще о двух основных операциях над двумерными последовательностями. Одну из них, которую мы назовем пространственным маскированием, можно рассматривать как обобщение скалярного умножения. Значение каждого отсчета двумерной последовательности  умножается на число , значение которого зависит от положения соответствующего отсчета

.                     (1.26)

Совокупность чисел  можно также рассматривать как двумерную последовательность. Тогда правая часть равенства (1.26) представляет собой поэлементное произведение двух последовательностей.

Двумерные последовательности могут подвергаться также действию нелинейных операторов. Важный тип нелинейных операторов, называемый безынерционной нелинейностью, характерен независимым воздействием на значение каждого отсчета двумерной последовательности. Рассмотрим, например, последовательность, образованную возведением в квадрат значения каждого отсчета двумерной последовательности :

.                   (1.27)

Операция возведения в квадрат является безынерционным нелинейным преобразователем, поскольку вычисление выходного значения в точке  зависит от единственного входного значения в той же точке.