4.1. Разностные уравнения конечного порядка

Разностное уравнение - это неявное соотношение между входом  и выходом  линейной инвариантной к сдвигу системы. Оно имеет вид

.                    (4.1)

Если выходные отсчеты ЛИС-систем можно найти по значениям входных отсчетов с помощью конечного числа вычислений, то эти вычисления можно выразить в форме (4.1) с конечными пределами суммирования. Последнее условие означает, что массивы коэффициентов  и  имеют конечные размеры. В этом случае мы говорим, что разностное уравнение имеет конечный порядок.

Далее, если , можно нормализовать коэффициенты  и , разделив обе части (4.1) на . Это позволяет принять  без потери общности рассмотрения. Такая нормализация упрощает некоторые последующие выражения.

Порядок разностного уравнения является мерой протяженности опорной области массива . Чем выше порядок, тем больше степень сложности. К сожалению, не существует точного определения порядка, поскольку массив  может иметь любую форму. Порядок определяется численно только после того, как установлена форма массива . Например, в частном случае, когда  имеет прямоугольную форму, так что (4.1) можно записать в виде

,     (4.2)

мы можем сказать, что порядок равен .

Важным частным случаем является класс разностных уравнений порядка «ноль на ноль». Для этих систем массив  состоит из одного отсчета в начале координат, и мы можем записать

.                       (4.3)

Сравнивая это разностное уравнение с выражением для свертки, мы видим, что выходной массив  является сверткой входного массива с массивом коэффициентов  и что  можно отождествить с импульсным откликом фильтра. Поскольку  содержит только конечное число ненулевых значений, мы видим, что разностное уравнение порядка «ноль на ноль» соответствует КИХ-фильтрам, подобным тем, которые обсуждались в гл. 3. Разностные уравнения конечного порядка, отличного от нуля, соответствуют БИХ-фильтрам (фильтрам с бесконечной импульсной характеристикой).