5.5.1. Общие методы минимизации
Общие методы минимизации,
упомянутые в разд. 5.4, можно использовать и для минимизации ошибки в частотной
области. Обычно ошибка суммируется по конечному числу отсчетов в частотной
области вместо интегрирования по квадрату
. Далее, обычно отсчеты распределены
равномерно, поэтому для вычисления
по
можно использовать двумерное БПФ.
Наконец, если проектировщик хочет указать частоты, на которых особенно важно
обеспечить малость ошибки аппроксимации, в функционал ошибки можно включить
неотрицательную весовую функцию. Таким образом, для случая среднеквадратичной
ошибки задача сводится к минимизации функционала ошибки аппроксимации
, (5.114)
где
- весовая
функция;
-
значения частот, для которых должна быть проведена минимизация, и, как и ранее,
мы молчаливо предположили для удобства, что
.
Для решения этой задачи можно использовать
идею линеаризации, которая обсуждалась в предыдущем разделе. Для обозначения
параметров фильтра мы, как и ранее, используем вектор
, а для обозначения их
возмущений - вектор
.
Вводя обозначение
(5.115)
для
описания отклика фильтра, если значения его параметров определяются вектором
, можно провести
линеаризацию
, (5.116)
где
- вектор
градиента, состоящий из частных производных
, (5.117а)
. (5.117б)
Теперь
значение
(выражение
(5.114)1, отвечающее набору параметров
, можно приблизительно записать в виде
. (5.118)
Если
продифференцировать это выражение по
и приравнять результат нулю, то мы
получим систему линейных уравнений вида
, (5.119)
которую
необходимо решить относительно
. В этом случае
определяет градиент функции
(5.114), а
-й
элемент матрицы
равен
, (5.120)
где
и
представляют
-й и
-й компоненты вектора
параметров
соответственно.
На каждой итерации решается уравнение (5.119) с целью нахождения нового вектора
возмущений
.
[На практике вектор
умножается
на положительный скалярный параметр размера шага
, подобранный так, чтобы обеспечить
условие
.]
Для минимизации функционала
можно использовать и другие методы
оптимизации.
В некоторых случаях может
оказаться удобным выполнять операции минимизации последовательно на
подмножествах параметров фильтра на каждой итерации. Например, в рамках одной
итерации можно с целью уменьшения
варьировать коэффициенты числителя
при постоянных
коэффициентах знаменателя
, а затем варьировать коэффициенты
знаменателя
при
постоянных коэффициентах числителя
. В результате уменьшается число
параметров, изменяемых в каждый данный момент времени, что может привести к
снижению числа арифметических операций и погрешности вычислений.
Используя эти методы синтеза в
частотной области, нельзя быть уверенным в том, что результирующий фильтр будет
устойчив. Если в результате получился неустойчивый фильтр, его следует либо
стабилизировать способами, описанными в разд. 5.7, либо от него отказаться.
Чтобы избежать такой ситуации, были предложены алгоритмы синтеза с учетом условия
устойчивости в качестве ограничения. Один из таких алгоритмов будет рассмотрен
в разд. 5.5.3.