1.4.3. Сравнение прямоугольной и гексагональной дискретизации

Для любого сигнала с ограниченным спектром можно предложить бесконечное количество матриц периодичности  и матриц дискретизации . Однако из всего этого многообразия практически используются только два варианта - прямоугольная и гексагональная дискретизация. Прямоугольная дискретизация была описана в разд. 1.4.1. Для нее характерна диагональная матрица дискретизации .

Гексагональной дискретизации соответствует матрица дискретизации вида

.                     (1.147)

Растр отсчетов для гексагональной матрицы дискретизации показан на рис. 1.28. Строки растра повторяются через одну, при этом нечетные строки сдвинуты относительно четных на полпериода. Термин «гексагональный» используется потому, что при  каждый отсчет будет иметь шесть ближайших соседей.

Рис. 1.28. Гексагональный растр дискретизации.

Нетрудно видеть, что соответствующая матрица периодичности имеет вид

,                                (1.148)

где , а .

Можно предложить несколько областей различной формы, которые, периодически повторяясь в соответствии с выражением (1.137), покрывают плоскость  без перекрытий. Четыре примера таких областей приведены на рис. 1.29. Особый интерес представляет показанная на рис. 1.30 шестиугольная область с параметрами ,  и  [6]. Эти параметры связаны с параметрами периодичности  и  следующим образом:

,                                (1.149а)

.                     (1.149б)

Рис. 1.29. Четыре примера областей, которые покрывают плоскость частот при периодическом продолжении в шести направлениях.

Рис. 1.30. Полоса пропускания сигнала с ограниченным частотным спектром в виде шестиугольника. (с любезного согласия Расселла М. Мерсеро, Proc. IEEE, © 1979 IEEE.)

Сравним относительную эффективность прямоугольного и гексагонального растра дискретизации двумерного непрерывного сигнала с частотным спектром, ограниченным круговой областью частот. Двумерное преобразование Фурье такого сигнала удовлетворяет условию

 для .                      (1.150)

Круговую область частот (например, показанную на рис. 1.24, а) можно вписать в квадрат со стороной  или в шестиугольник со стороной . Следовательно, частотный диапазон сигнала можно считать ограниченным либо квадратным, либо шестиугольным участком частотной плоскости.

Периодическое повторение квадратного участка соответствует дискретизации на прямоугольном растре. В этом случае матрица дискретизации  имеет вид

,        а                                                          (1.151)

.                                                                    (1.152)

С другом стороны, можно использовать матрицу гексагональной дискретизации

, для которой                     (1.153)

.                                                (1.154)

Поскольку плотность отсчетов пропорциональна , то из отношения выражений (1.152) и (1.154) видно, что для представления одного и того же сигнала, спектр которого ограничен кругом, гексагональная дискретизация требует на 13,4% меньше отсчетов по сравнению с прямоугольной. В самом деле, можно показать [5], что для сигнала с круговым частотным диапазоном гексагональная дискретизация является наиболее эффективной.

Понятия гексагональной и прямоугольной дискретизации можно обобщить на -мерный случай. Прямоугольная дискретизация соответствует выборкам на гиперкубической решетке. Положениям отсчетов в случае -мерного обобщения гексагональной дискретизации соответствуют центры плотноупакованных -мерных гиперсфер. В табл. 1.1 для различных значений  приведены значения эффективности гексагональной дискретизации по отношению к прямоугольной [5]. Следует заметить, что в одномерном случае как прямоугольная, так и гексагональная дискретизации переходят в одномерную периодическую дискретизацию. В разд. 1.5 будут рассмотрены некоторые свойства сигналов и систем с гексагональной дискретизацией.

Таблица 1.1. Отношения эффективности -мерной кубической решетки к гиперсферической в функции