7.4. Проекция дискретных сигналов

В предыдущем разделе рассматривались проекции непрерывных многомерных сигналов. Можно также определить и проекции дискретных сигналов. В некоторых случаях такое проецирование равносильно обратимой перестановке отсчетов из -мерной последовательности конечной протяженности в -мерную последовательность. Это в основном делается из соображений удобства реализации.

Можно определить оператор проецирования для двумерного множества как двумерный цифровой ЛИС-фильтр с импульсным откликом

.                  (7.72)

Этот фильтр изображен на рис. 7.21 для частного случая , . Пара целых чисел  определяет ориентацию проекции, которая может быть также задана углом :

.                                                (7.73)

Рис. 7.21. Импульсный отклик, соответствующий оператору проецирования при , .

В противоположность непрерывному случаю дискретная проекция определена не для всех углов, поскольку  и , должны быть целыми числами.

Проекция двумерного множества на самом деле является одномерной последовательностью. Обозначим через  результат проецирования двумерного сигнала  под углом , описываемым выражением (7.73). Тогда

Из равенства (7.76) видно, что

                                                               (7.77)

для любого целочисленного . В этом случае

В последнем выражении проекция  записана как функция одной переменной.                     

Проекции дискретных сигналов с конечной опорной областью интересны тем, что они часто бывают обратимыми. Пусть последовательность  имеет опорную область, заключенную в диапазоне . Рассмотрим проекцию этого множества . При этом

, , .                       (7.80)

Последовательность  является просто результатом присоединения друг к другу (конкатенацией) столбцов последовательности , поэтому обратимость  очевидна. В общем случае проецирование может привести к тому, что несколько отсчетов  отображаются на один и тот же отсчет . В этом случае проекция не является обратимой.

Рассмотрим теперь -преобразование отображения проецирования, описываемого выражением (7.80):

               (7.81)

Таким образом, -преобразование проекции является многомерным -преобразованием, вычисленным по конкретному контуру. В еще более общем случае, когда проекция определяется парой взаимно простых целых чисел , можно показать, что

.                                                      (7.82)

Это равенство является теоремой о проекционном срезе для дискретных проекций. Если вместо рассмотрения -плоскости ограничиться рассмотрением Фурье-плоскости , , то равенство (7.82) переходит в выражение

.                                           (7.83)

Поскольку  дважды периодична по , то функция  соответствует вычислению  вдоль набора параллельных прямых, образующих угол  с осью . Этот случай для обратимой проекции при ,  показан на рис. 7.22 [24].

Рис. 7.22. Линии плоскости Фурье, соответствующие одномерному преобразованию Фурье; проекции под углом . (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро и Дэна Е. Даджнона [24].© 1974 IEEE.)

Для случая обратимой проекции задание величины  эквивалентно заданию величины . Поэтому функции  и  являются эквивалентными представлениями Фурье последовательности , но функция  - двумерное преобразование Фурье, а функция  - одномерное преобразование Фурье, из которого можно вычислить .

Если  является -точечным массивом, то -точечная последовательность , полученная конкатенацией столбцов , обладает дискретным спектром Фурье, из которого она может быть восстановлена. Это ДПФ состоит из  равномерно расположенных отсчетов  и, согласно теореме о проекционном срезе, одновременно состоит из отсчетов . Этот набор отсчетов, показанный на рис. 7.23 [24], представляет собой еще один вид ДПФ двумерного множества и может быть записан следующим образом:

,

, .                   (7.84)

Рис. 7.23. Растр отсчетов в плоскости Фурье, соответствующий -точечному модифицированному двумерному ДПФ. (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро и Дэна Е. Даджнона [24], © 1974 IEEE.)

Очевидно, что такое ДПФ является тем самым кусочным ДПФ, которое рассматривалось в разд. 2.5.1. Оно является обобщенным ДПФ с матрицей периодичности

                                              (7.85)

и может быть вычислено через одно -точечное одномерное ДПФ.

Можно также определить проекции многомерных массивов, которым соответствует непрямоугольный растр. Это сделано в работе [25].

Дискретные проекции можно также обрабатывать по схеме с линейной фильтрацией, показанной на рис. 7.24. По этой схеме можно записать

.                           (7.86)

Рис. 7.24. Двумерная ЛИС-система, реализованная с использованием проекций.

В Фурье-области это эквивалентно записи

 или                                                      (7.87)

,              (7.88)

где  - обратная проекция функции , а  - преобразование Фурье функции . Для реализации двумерной системы необходимо, чтобы выполнялось равенство

                                       (7.89)

для всех . Равенство (7.89) будет выполняться, если проекция при ориентации  будет для последовательности  обратимой. Это позволит сконструировать двумерную последовательность  из одномерной последовательности  без потери информации. Когда три рассматриваемые последовательности имеют конечную протяженность, всегда можно найти удобную для решения этой задачи ориентацию.