6.5.1. Классическая оценка спектра

Классические подходы к оценке одномерного спектра, рассмотренные в работах [16-19], хорошо известны уже более двух десятилетий; они обобщены в гл. 11 книги Оппенгейма и Шафера [20]. Обобщение этих методов на два или более измерений достаточно очевидно.

В простейшей формулировке задача оценки спектра состоит в оценке спектра мощности  сигнала  по измерениям величины . Существует несколько определений спектральной плотности мощности случайного процесса. Хотя естественно было бы определять его как квадрат модуля спектра Фурье регистрируемого процесса, обычно этот спектр Фурье не существует. В качестве альтернативы определим его через спектр Фурье автокорреляционной функции. (Для детерминированного случая эти определения эквивалентны.) Тогда

,              (6.110)

где

,                                  (6.111)

а  обозначает математическое ожидание по ансамблю случайного процесса.

Количество данных, доступных для оценки , ограничивается целым набором факторов. Во-первых, статистика , которую в задачах анализа обычно предполагают стационарной в широком смысле, на самом деле может изменяться во времени. Во-вторых, набор приемников ограничен, а их выходные сигналы подвергаются дискретизации. Наконец обычно имеется только реализация случайного процесса ограниченной протяженности, что затрудняет оценку среднего по ансамблю. По этим причинам в дальнейшем мы примем, что результаты измерений , используемые в оценке , доступны только для ; , а также, что эти измерения свободны от шума и что , так что

.                                                                   (6.112)

Одну из простейших оценок  можно получить путем многомерного преобразования Фурье  и возведения в квадрат его квадрата модуля, что дает

.               (6.113)

Эта величина называется периодограммой. (Для обозначения оценки мы будем использовать значок «» над .) Нормализующий множитель  возникает при дискретизации выражения (6.111). В случае линейной решетки  выражение (6.113) приводится к виду

,                (6.114)

дискретную копию которого можно получить применением двумерного ДПФ.

Можно несколько обобщить оценку периодограммы, получив модифицированную периодограмму , если сначала умножить  на двумерную функцию окна . Рассмотрим частный случай, когда функция  выбирается в виде

,                                              (6.115)

где  не равны нулю лишь в интервале , a  не равно нулю лишь в интервале . Для этого конкретного двумерного окна оценка спектра выглядит следующим образом:

     (6.116)

В этом случае модифицированную периодограмму можно связать с выходом формирователя луча в частотной области, описываемым выражением (6.76)

.                                                  (6.117)

На периодограмму как способ оценки спектра накладывается целый ряд ограничений, но наиболее серьезным является то обстоятельство, что спектральные оценки имеют большую статистическую дисперсию и что они являются сильно изрезанной (т. е. негладкой) функцией частоты. Отсчеты периодограмм, выделенные на частотах  или при волновых числах , некоррелированны, и с возрастанием значений  и  эти некоррелированные спектральные отсчеты все теснее сближаются, что приводит к большим изменениям в амплитуде при малых изменениях частоты или волнового числа. Это явление приводит к большому разбросу в оценках спектра для различных спектральных отсчетов.

Этот разброс можно уменьшить различными способами: выбором различных окон , сглаживанием оценки периодограммы по частоте и волновому числу, усреднением нескольких спектральных оценок или применением одновременно нескольких из перечисленных процедур. При применении любой из этих процедур всегда приходится искать компромисс между спектральным разрешением и «разбросом» спектральных оценок.

Рассмотрим сначала уменьшение дисперсии спектральной оценки путем усреднения нескольких оценок. Это будет попыткой реализовать операцию нахождения математического ожидания в (6.111). Хотя в нашем распоряжении имеется лишь одна реализация случайного процесса, но если этот процесс эргодический, то мы можем разбить набор измерений  на несколько сегментов, каждый из которых может обеспечить оценку спектра. Например, определим периодограмму -го сегмента измерений следующим образом:

.                                        (6.118)

Всего имеется  таких периодограмм, усреднение которых дает

,     (6.119)

где индекс  поставлен в честь Бартлетта, первым предложившего этот подход к оценке спектра в одномерном случае [16]. Поскольку измерения были разделены на сегменты длиной  по временной переменной, разрешение по временной частоте уменьшилось в  раз. За счет этого уменьшения разрешения мы получили более стабильную в статистическом смысле оценку спектра, т. е. оценку спектра с меньшей дисперсией.

Можно было бы также рассмотреть уменьшение разрешения по волновому числу, разбив  по индексу приемника . Это приведет к еще большему количеству спектральных оценок, подлежащих усреднению, и еще более уменьшит дисперсию окончательной оценки спектра. Однако во многих приложениях  гораздо меньше, чем , и дальнейшее ухудшение разрешения по волновому числу, возникающее при разбиении по индексу , недопустимо.

Метод, исследованный Уэлчем [19] для оценок спектра, использует тот же метод сегментации данных, что и процедура Бартлетта, но в нем к каждому сегменту данных перед вычислением спектра Фурье применяется окно . Допускается также, чтобы сегменты данных перекрывались. Величина перекрытия, длина и количество сегментов, а также форма окна данных выбираются с целью уменьшения дисперсии спектральной оценки обычно за счет некоторой потери в разрешении. (Мы отсылаем читателя к работе [5], в которой содержится представительный обзор окон для одномерных спектральных оценок.) Поскольку модифицированная периодограмма тесно связана с выходом формирователя луча в частотном пространстве, оценку Уэлча можно интерпретировать как среднюю мощность, содержащуюся в выходе формирователя луча в частотной области.

Для более стабильной оценки спектральной мощности можно пожертвовать спектральным разрешением, вычисляя сглаженную периодограмму в виде

.              (6.120)

Здесь для получения сглаженной оценки исходная периодограмма свернута со сглаживающей функцией . Это эквивалентно умножению оценки автокорреляционной функции на последовательность окна  со спектром Фурье . Чем шире основной лепесток , тем выше степень сглаживания, более стабильна спектральная оценка и хуже разрешение. Заметим также, что если спектр  не выбран всюду положительным, то может случиться, что сглаженная периодограмма будет отрицательной при некоторых значениях .

Чтобы посмотреть, что происходит в пространственной области, слегка изменим обозначения и запишем последовательность измерений в следующем виде:

.                                                                      (6.121)

Поскольку эти измерения являются отсчетом двумерного дискретного случайного процесса с нулевым средним, автокорреляционную последовательность можно записать как среднее по множеству

.                        (6.122)

Если процесс  стационарен в широком смысле, то функция  не зависит от индексов . Тогда оценку автокорреляционной последовательности можно вычислить, перемножив  и  и усреднив произведение по всем возможным значениям упорядоченных пар . В результате получим

.           (6.123)

(Пределы суммирования справедливы только для  и . Для других значений  и  необходимо брать другие пределы суммирования.)

Поскольку измерения  имеются лишь для области ; , то оценка автокорреляционной функции  будет иметь ненулевые значения лишь для , лежащих в области

; .                                      (6.124)

Далее, с ростом значения  или  оценка автокорреляционной функции основывается на все меньшем количестве отсчетов  и поэтому статистически менее достоверна, чем для значений  и , расположенных ближе к началу координат.

Оценку периодограммы, описываемую выражением

,                           (6.125)

можно записать также как спектр Фурье оценки автокорреляционной функции

,                      (6.126)

а сглаженную спектральную оценку  можно записать в виде

,        (6.127)

где функция окна  является обратным преобразованием Фурье , с которой мы уже сталкивались в выражении (6.120):

.              (6.128)

Использование корреляционного окна (отличного от окна данных, с которым мы встречались в модифицированной периодограмме и оценке Уэлча) можно рассматривать как уменьшение веса, приписываемого коэффициентам автокорреляции , у которых  или . Это те же отсчеты , которые имеют большую дисперсию из-за малого количества измерений, участвующих в их вычислении. Окно в выражении (6.127) служит для уменьшения вклада этих ненадежных значений в оценку спектра.

Мы использовали задачу обработки сигналов, принятых решеткой распределенных сенсоров, как повод для рассмотрения классических методов оценки спектральной плотности мощности. Обозначения, принятые в этой главе, несколько отличаются от обозначений, введенных в предыдущих главах. По этой причине полезно подвести итог результатам настоящего раздела с использованием обозначений, принятых в предыдущих главах.

Рассмотрим многомерный случайный процесс , автокорреляционная функция которого имеет вид

.                                                           (6.129)

Мы хотим оценить спектральную плотность мощности , формально описываемую выражением

,                                                        (6.130)

но при этом ограниченную конечным числом измерений. Для конкретности примем, что у нас имеются значения  в области

; , …, ,                                  (6.131)

или в более компактной форме

.                                                                                         (6.132)

Одним из способов оценки спектра  является вычисление преобразования Фурье результатов измерений

.                                                           (6.133)

и затем оценки периодограммы по формуле

,                                                                    (6.134)

где . Статистическую устойчивость оценки спектра можно улучшить за счет ухудшения спектрального разрешения, разбив набор измерений на сегменты, рассчитав оценку периодограммы для каждого сегмента и усреднив эти оценки. Эта оценка, называемая оценкой Бартлетта, описывается выражением

.                             (6.135)

В модифицированной периодограмме используется окно данных  для умножения данных измерений перед вычислением преобразования Фурье. В этом случае

.                                 (6.136)

Оценку Уэлча можно рассматривать как комбинацию процедуры Бартлетта и модифицированной периодограммы

.                    (6.137)

Можно сделать оценку автокорреляционной функции , вычислив ее по формуле

.                                                    (6.138)

Тогда оценку периодограммы, описываемую формулой (6.133), можно записать в виде

.                                                        (6.139)

Сглаженную оценку периодограммы можно вычислить путем наложения окна на оценку автокорреляционной функции перед вычислением преобразования Фурье. Это позволяет уменьшить вклад тех оценок коэффициентов автокорреляции, которые имеют большую дисперсию. Сглаженную периодограмму можно записать следующим образом:

.                                            (6.140)