5.6.3. Решетчатые структуры

Решетчатые структуры существуют как для одномерных, так и для двумерных цифровых фильтров без полюсов (КИХ-фильтров) и фильтров без нулей. Начнем рассмотрение с одномерного случая, а затем обобщим полученные результаты на двумерный случай.

Пусть , , является последовательностью длины  и пусть

.                                                              (5.169)

Функцию  можно трактовать либо как передаточную функцию КИХ-фильтра с весами ответвлений , либо как знаменатель передаточной функции БИХ-фильтра без нулей. Мы можем установить взаимное соответствие между  и другим набором  чисел , известным под названием коэффициентов отражения [30], с помощью следующей итерационной процедуры. Для  примем

,                                                                              (5.170а)

.               (5.170б)

По мере выполнения итераций порядки полиномов уменьшаются. Число  - коэффициент при  в , т. е. последний коэффициент этого полинома. Рекурсивные вычисления, согласно выражению (5.170), можно выполнять и в обратном порядке, так что коэффициенты  получаются из . Это приводит к рекурсивному соотношению

,                                                                                      (5.171а)

.                                (5.171б)

Выражение (5.1716) повторяется для .

Для реализации фильтра можно использовать как , так и . В первом случае мы имеем прямую форму реализации. Во втором случае мы имеем решетчатый фильтр. На рис. 5.28,а представлена решетчатая реализация фильтра с передаточной функцией , а на рис. 5.28,б - решетчатый фильтр с передаточной функцией .

Рис. 5.28. Решетчатая форма одномерного КИХ-фильтра прогнозирования -го порядка (а) и инверсного фильтра (б).

Одномерным решетчатым фильтрам присущи две привлекательные черты, которые хотелось бы сохранить при обобщении на многомерный случай. Во-первых, эти фильтры обладают хорошими характеристиками квантования коэффициентов, т. е. частотный отклик не особенно чувствителен к возмущениям в значениях коэффициентов . Во-вторых, если  для , то  будет минимально-фазовым полиномом.

Марзетта [31,32] и Харрис [33] распространили эти идеи на двумерный случай, хотя сделали это весьма различными способами. Подход Марзетты состоял в определении двумерной последовательности коэффициентов отражения, подход Харриса - в определении одномерной последовательности функции отражения. Мы начнем со способа Марзетты.

Пусть  - множество коэффициентов двумерного КИХ-фильтра и

.                                  (5.172)

Мы хотим определить набор из  коэффициентов отражения , позволяющий дать другое представление фильтра, причем при выполнении  для ,   функция  является двумерным минимально-фазовым полиномом. Марзетта [31, 32] показал, что в общем случае этого, к сожалению, нельзя сделать. Далее, он показал, что для сохранения свойств минимальной фазы требуется, чтобы бесконечный набор коэффициентов отражения  был определен на «бесконечной опорной области» , показанной темными кружками на рис. 5.29.

Рис. 5.29. «Бесконечная опорная область» двумерных фильтров прогнозирования, обозначенная через . (С любезного согласия Томаса Л. Марзетты [32], © 1980 IEEE.)

Хотя последовательность конечной протяженности  порождает бесконечную последовательность коэффициентов отражения, обратное, к счастью, не имеет места. Если полином определен конечной последовательностью коэффициентов отражения , то он по-прежнему будет полиномом конечной степени. Более того, если  для всех , то этот полином будет иметь минимальную фазу. Полином можно найти из  с помощью следующих рекурсивных соотношений, которые являются обобщением выражений (5.171):

,                                                                                                                (5.173а)

,                (5.173б)

.

Рекурсивные вычисления повторяются для всех значений , для которых .

Пример 3 [32]

Пусть последовательность коэффициентов отражения  имеет вид

, , , ,             (5.174)

для всех остальных значений .

Тогда с помощью уравнений (5.173) можно получить полиномиальное представление

  (5.175)

Заметим, что опорная область коэффициентов полинома больше опорной области последовательности коэффициентов отражения.

Эквивалентность представления двумерного фильтра с минимальной фазой и четверть плоскостной или несимметричной полуплоскостной опорной областью с помощью коэффициентов отражения или полинома дает возможность синтезировать фильтры в форме  путем определения последовательности их коэффициентов отражения. Далее, если амплитуды коэффициентов отражения меньше 1, устойчивость фильтра обеспечена. Процедура синтеза усложняется из-за того, что взаимосвязь между параметрами  и функцией знаменателя  носит итерационный характер. Хотя и предпринимались некоторые попытки синтеза двумерных БИХ-фильтров с помощью представления через коэффициенты отражения [34], эта проблема еще не решена.

Двумерные КИХ- и БИХ-фильтры, описываемые множеством коэффициентов отражения , можно реализовать с помощью двумерной решетчатой структуры. Двумерную решетчатую структуру, являющуюся непосредственным обобщением одномерной решетчатой структуры, можно получить из рекурсивных соотношений (5.173).

Харрис [33] разработал другую решетчатую структуру, трактуя поставленную задачу как задачу одномерной фильтрации вектора. Этот подход особенно удобен для обработки последовательностей, у которых количество отсчетов в одном измерении (например, пространственном) невелико по сравнению с количеством отсчетов в другом измерении (например, во временном).

Для описания этого подхода необходимо ввести понятие симметричного полуплоскостного фильтра. Это такой двумерный БИХ-фильтр, у которого выходная маска, симметричная относительно одной из своих переменных, характеризуется конечным числом коэффициентов и имеет отверстие на краю. Если последовательность конечной протяженности  удовлетворяет условиям

 для  и                                      

 для ,                 (5.176)

то фильтр  является симметричным полуплоскостным фильтром. (Для упрощения мы будем считать, что полином-числитель является просто константой.)

Симметричный полуплоскостной фильтр, пример выходной маски которого представлен на рис. 5.30, не вычисляется рекурсивно в том смысле, как это понималось в гл. 4. Однако мы можем представить такой фильтр в виде одномерного векторного процессора, который вычисляет всю строку выходных значений на основании входного сигнала и предыдущих  строк выходных значений. Если граничные условия на правом и левом краях рис. 5.30 определены, обычное двумерное разностное уравнение, связывающее входной сигнал  с выходным сигналом , можно записать в матрично-векторной форме

, или, что то же самое,                          (5.177)

.                                            (5.178)

Рис. 5.30. Выходная маска симметричного полу плоскостного фильтра.

 - вычисленные выходные значения; О - выходные значения, которые необходимо вычислить; Х - граничные условия.

В этой записи  представляет собой -ю строку входного сигнала,  - -ю строку выходного сигнала и (в предположении нулевых граничных условий),  - матрицу, описывающую влияние -й строки коэффициентов числителя. Она имеет форму матрицы Тёплица. Элемент матрицы  с номерами  представляется в виде

 для .                                (5.179)

Если матрица  совпадает с единичной матрицей , то для вычисления  можно использовать одномерное векторное рекурсивное соотношение (5.178). Это условие, как видно из (5.179), имеет место, когда

,                                                                  (5.180)

что соответствует выходной маске для рекурсивных вычислений, показанной на рис. 5.31.

Рис. 5.31. Пример выходной маски симметричного полуплоскостного фильтра, вычисляемого рекурсивно.

В более общем случае вектор  вычисляется путем инвертирования матрицы  и умножения ее на вектор в правой части выражения (5.178). Харрис [33] предлагает при вычислении инверсии пользоваться треугольной факторизацией , поскольку в этом случае сохраняется полосовая структура  и возможна относительно эффективная реализация.

Можно показать, что любой минимально-фазовый симметричный полуплоскостной полином  с конечной протяженностью можно представить в виде множества функций коэффициентов отражения  [33]. Каждая функция коэффициента отражения удовлетворяет условию

 для .                                                                                  (5.181)

Если дано представление в виде функций коэффициентов отражения , то соответствующий полуплоскостной полином можно построить с помощью обобщенного рекурсивного соотношения

, .  (5.182)

Рекурсивные вычисления начинаются с одномерного ненулевого полинома переменной

, где                                                    (5.183)

 для .                                                          (5.184)

Функции коэффициентов отражения можно получить с помощью обратной рекурсии, аналогичной в принципе выражению (5.170) [33].

При практическом синтезе фильтров в большинстве случаев в качестве  берутся симметричные полиномы вида

,                                 (5.185)

причем , однако можно пользоваться также и рациональными полиномами переменной , если они получаются из произвольного симметричного полуплоскостного полинома . В любом случае, если функции коэффициентов отражения удовлетворяют ограничивающим условиям (5.181), фильтр  будет устойчивым в смысле ограниченности входа и ограниченности выхода.

Предположим, что мы получили набор функций коэффициентов отражения , представляющий симметричный полуплоскостной полином ; инверсию этого полинома мы хотим реализовать в решетчатой форме. Чтобы получить структуру решетки, определим вспомогательные функции [33]

,                                                    (5.186а)

.                                            (5.186б)

Затем из выражений (5.182) и (5.186) можно получить следующие рекурсивные соотношения:

,                      (5.187а)

.                     (5.187б)

Требуемую результирующую передаточную функцию  можно записать в виде

.                                        (5.188)

Используя уравнения (5.187) и (5.188), Харрис [33] получил одномерную векторную решетчатую схему для реализации симметричного полуплоскостного фильтра . Эта схема показана на рис. 5.32.

Рис. 5.32. Одномерная векторная решетчатая схема для реализации двумерного симметричного полуплоскостного фильтра .

Интерпретация рис. 5.32 во многом упрощается, если рассматривать переменную  как пространственную переменную, а переменную  - как временную. Тогда входной и выходной сигналы являются последовательностями векторов, в которых каждый вектор представляет все пространственные отсчеты в данный момент времени. Аналогично внутренние сигналы в узлах решетчатой структуры также являются последовательностями векторов. Каждый из операторов сдвига  на нижнем ребре решетки соответствует задержке на единичный временной интервал, достаточный для хранения одной целой строки пространственных отсчетов (т. е. одного вектора).

Операторы усиления на перекрестных связях решетки в действительности являются одномерными пространственными фильтрами с постоянными во времени параметрами. Они производят умножение в -области, что, конечно, соответствует свертке элементов вектора с результатом обратного -преобразования функции коэффициентов отражения. Последний фильтр перед выходным узлом, обозначенный через , также в силу выражения (5.183) является одномерным пространственным фильтром с постоянными параметрами. Метки узлов на рис. 5.32 [например,  и ] обозначают передаточные функции от входного узла к узлу с данной меткой.

В некотором отношении реализация в форме одномерной векторной решетки близка к итерационной реализации, описанной в разд. 5.2 (рис. 5.7). Действительно, переменную итерацию можно было рассматривать как временную переменную, а различные операции фильтрации интерпретировать как постоянные во времени пространственные фильтры, аналогично функциям коэффициентов отражения в векторной решетчатой структуре. В некоторых приложениях, особенно при обработке сигналов, поступающих от совокупности распределенных в пространстве датчиков, представление многомерных операций фильтрации в виде одномерных векторных операций вполне разумно. Харрис [33] использовал свою векторную решетчатую структуру для синтеза и реализации двумерных цифровых фильтров, применяемых при обработке геофизических сигналов.

Ввиду недостатка места мы не будем в деталях описывать алгоритмы синтеза, предложенные Харрисом [33] для векторной решетчатой структуры. Вместо этого дадим общее описание одного подхода к синтезу и упомянем некоторые любопытные аспекты этого подхода.

В подходе Харриса к задаче синтеза для минимизации функционала ошибки

                                                               (5.189)

используется алгоритм итерационной оптимизации, аналогичный методу наискорейшего спуска. Функционал  является мерой ошибки аппроксимации частотного отклика, а величина  - ошибка устойчивости.

Харриса интересовал простой случай синтеза фильтра, у которого амплитуда отклика была равна единице в некоторой полосе пропускания , нулю в некоторой полосе непропускания  и произвольной величине в остальных областях частотной плоскости. Использованная им мера ошибки аппроксимации интересна тем, что ошибки в полосах пропускания и непропускания учитываются не одинаково. А именно, функционал ошибки аппроксимации имеет вид

. (5.190)

С помощью весового параметра  можно учитывать относительную важность ошибок полос пропускания и непропускания. Этот функционал ошибки обеспечивает дифференцируемость  [33], и его использование объясняется тем, что значение  в полосе непропускания дает вклад в подынтегральное выражение, равный , а значение  в полосе пропускания дает вклад в подынтегральное выражение, приблизительно равный . Таким образом, если не обращать внимание на коэффициент пропорциональности, который можно изменить с помощью параметра , ошибки порядка  как в полосе пропускания, так и в полосе непропускания дают вклад в  порядка .

Ошибка устойчивости  может принимать форму либо штрафной, либо барьерной функции [35]. Штрафная функция - это такая функция, значение которой равно нулю, если параметры фильтра соответствуют устойчивому фильтру, и возрастает по мере того, как фильтр становится все более и более неустойчивым. Ошибка устойчивости, обсуждавшаяся в разд. 5.5.3, является одним из примеров штрафной функции. Применительно к рассматриваемому вопросу возможная штрафная функция для функций коэффициентов отражения дана в работе [33] в виде

,                      (5.191)

где  - коэффициент пропорциональности.

С другой стороны, барьерная функция - это функция, определенная на классе устойчивых фильтров, но стремящаяся к бесконечности по мере приближения к границе между классами устойчивых и неустойчивых фильтров. Применительно к рассматриваемому вопросу подходящая барьерная функция дана в работе [33] в виде

.                                                        (5.192)

Если любая из функций коэффициентов отражения  приближается к единице на какой-либо частоте, то ошибка устойчивости растет. Используя барьерную функцию, следует позаботиться о том, чтобы начальные оценки значений параметров фильтра соответствовали устойчивому фильтру. В этом случае барьерная функция предохранит нас от перехода к неустойчивому фильтру при последующих итерациях.

Минимизация функционала  в (5.189) градиентными алгоритмами обычно требует вычисления частных производных от  по параметрам . Эти вычисления несложны, но трудоемки вследствие того, что  рекурсивно влияют на передаточную функцию знаменателя. Детали этих вычислений даны в работе [33].

Харрис [33] использовал этот метод для синтеза фильтра, характеристики которого представлены на рис. 5.33,а. Фильтр имеет 55 независимых параметров - 25 для квадрантно-симметричного полинома-числителя  и 30 для симметричного полуплоскостного полинома-знаменателя . Ширина переходной полосы равнялась , пульсации в полосе пропускания составляли менее 0,01, а ослабление в полосе непропускания - приблизительно 34 дБ. На рис. 5.33,б и в приведены контурная диаграмма и перспективная проекция частотного отклика фильтра, а на рис. 5.33,г представлены пять функций коэффициентов отражения, использованных в фильтре.

Рис. 5.33.

а - характеристики лопастного фильтра; б - линейная контурная диаграмма амплитуды лопастного фильтра с 55 коэффициентами (контуры проведены с интервалом 0,1)

Рис. 5.33.

в - перспективная проекция; г - функции коэффициентов отражения для лопастного фильтра с S5 коэффициентами. (С любезного согласия Девида Б. Харриса [33].)