6.5.3. Чисто полюсное моделирование спектра

Этот подход к оценке многомерного спектра является прямым обобщением одномерного метода, известного под названием авторегрессивной (АР) спектральной оценки. В нем делается предположение, что анализируемый случайный процесс является выходом фильтра, на входе которого действует шум с равномерным спектром (белый шум). Этот фильтр обычно задают как рекурсивно вычислимый БИХ-фильтр с передаточной функцией, имеющей постоянный числитель, как это показано на рис. 6.12, поскольку такое допущение сильно упрощает алгоритм вычисления. В той мере, в какой справедлива эта модель, энергетический спектр  сигналов  описывается выражением

,                                             (6.164)

где

,                              (6.165)

а  - энергетический спектр случайного процесса . Если  - белый шум, то получим

 и                                                                              (6.166)

.                                                             (6.167)

Рис. 6.12. Двумерный случайный процесс  можно моделировать в виде выходного сигнала чисто полюсного БИХ-фильтра, на вход которого поступает последовательность , являющаяся белым шумом.

Оценка  сводится к оценке коэффициентов  из коэффициентов автокорреляции случайного процесса , которые считаются известными для , . Однако есть некоторые существенные отличия в свойствах таких одномерных и двумерных оценок спектров, связанные с фундаментальными математическими различиями между функциями одной и двух переменных. Мы рассмотрим эти различия в конце настоящего раздела.

Начнем с допущения, что множество коэффициентов  равно нулю вне области

; .                                                                                 (6.168)

Тогда  удовлетворяют следующему соотношению:

.                                     (6.169)

Можно переписать это соотношение, используя известные коэффициенты автокорреляции  путем умножения обеих частей на  и вычисления математического ожидания. Тогда получим

.    (6.170)

Второй член в правой части можно раскрыть, выразив  через импульсный отклик  БИХ-фильтра

.                                               (6.171)

Отсюда видно, что

.           (6.172)

Вновь используем тот факт, что  - белый шум. Из этого следует, что

,                                                                              (6.173)

что позволяет упростить выражение (6.172)

          (6.174)

и записать выражение (6.170) в виде

.                                              (6.175)

Поскольку коэффициенты фильтра  равны нулю вне первого квадранта, допустим теперь, что  также равно нулю вне первого квадранта. Если мы ограничимся рассмотрением случая ; , то второе слагаемое в правой части выражения (6.175) будет равно нулю, за исключением случая . Поскольку для этого фильтра , то окончательно получим

 для  и .                  (6.176)

После вычитания двойной суммы из обеих частей это соотношение можно записать в матричной форме, используя матрицу , определенную в выражении (6.159). При этом получим

,                                                                     (6.177)

где векторы определяются следующим образом:

,                  (6.178)

и .                                                 (6.179)

Как и раньше,  - это матрица , а каждая матрица  и  содержит по  элементов.

Решением уравнения (6.177) является

,                                                                 (6.180)

где  - матрица, описанная ранее в выражении (6.161). Благодаря простой структуре матрицы  мы можем записать решение в виде

.

Тогда коэффициенты фильтра задаются уравнением

,                           (6.181)

где

.                                         (6.182)

Теперь, имея коэффициенты фильтра, мы можем использовать равенство (6.167) для оценки энергетического спектра

.                  (6.183)

Уравнение (6.177) для коэффициентов вектора фильтра  является также результатом постановки задачи как задачи линейного предсказания. В этой постановке мы стараемся минимизировать среднеквадратичную ошибку между действительным значением  и предсказанным значением , полученным из линейной комбинации предыдущих значений . Предсказанное значение описывается равенством

.               (6.184)

Коэффициенты предсказания  выбираются из условия минимизации величины

.                                      (6.185)

Задачу линейного предсказания можно интерпретировать как синтез КИХ-фильтра для удаления предсказуемой части сигнала. Этот фильтр выполняет операцию «разбеливания» спектра. Если процессы  действительно возникли в результате прохождения белого шума через фильтр, обладающий только полюсами, как это показано на рис. 6.12, то становится возможным восстановить белый шум применением обратного фильтра. Это именно то, что реализуется линейным предсказанием.

Метод чисто полюсного спектрального моделирования имеет смысл при оценке энергетического спектра случайного процесса , порождаемого при пропускании белого шума через чисто полюсный физически реализуемый БИХ-фильтр. Что случится, если применить этот метод к набору автокорреляционных измерений , не удовлетворяющих принятой модели?

В одномерном случае можно подобрать набор коэффициентов фильтра, приводящий к оценке энергетического спектра, обратное преобразование Фурье которого равно известным отсчетам автокорреляционной функции даже в том случае, когда случайный процесс не удовлетворяет чисто полюсной модели. (Это утверждение сделано при допущении, что заданные значения коэффициентов автокорреляции, записанные в матричном обозначении, образуют положительно определенную матрицу.) Это свойство называется свойством автокорреляционного согласования. Результирующие коэффициенты фильтра можно использовать для продолжения автокорреляционной функции при обеспечении свойства положительной определенности. В формулировке одномерного линейного предсказания имеется  известных коэффициентов автокорреляции, из которых только  являются независимыми, а также  неизвестных параметров. Это приводит к  линейным уравнениям с  неизвестными, которые всегда можно решить, поскольку автокорреляционная матрица положительно определенная.

В двумерном случае эти утверждения не справедливы. Автокорреляционное согласование не всегда возможно. Число известных автокорреляционных отсчетов равно  (из них лишь  независимы), а число искомых параметров – всего лишь . Набор  параметров недостаточен для согласования  независимых коэффициентов автокорреляции.

Далее, если даже матрица  является положительно определенной, положительно определенное продолжение может не существовать [24, 25]. Это означает, что произвольный набор коэффициентов , удовлетворяющих равенству , который приводит к положительно определенной матрице , в общем случае не является отсчетами какой-либо автокорреляционной функции. (Это находится в разительном контрасте с одномерным случаем.) Согласно результатам работ [24-26], отсутствие положительно определенного продолжения связано с невозможностью записать двумерный положительный полином в виде суммы квадратов полиномов. Наоборот, одномерный положительный полином всегда можно записать в таком виде.

В одномерной формулировке задачи линейного предсказания инверсный фильтр имеет свойство минимальной фазы, из чего следует, что соответствующий фильтр, обладающий только полюсами, в задаче моделирования всегда устойчив. (Мы опять полагаем, что матрица корреляционных измерений является положительно определенной.) Однако это не всегда так в двумерном случае. Можно найти примеры, когда двумерный фильтр вида

                                     (6.186)

с опорной областью в первом квадранте неустойчив, если даже матрица  является положительно определенной [27]. Хотя эта проблема не так существенна в задачах оценки энергетического спектра, она составляет потенциальную опасность при моделировании сигнала в прикладных задачах синтеза.

В начале этого раздела мы вывели чисто полюсную модель для случая, когда коэффициенты фильтра  имеют опорную область в первом квадранте. Естественно, можно построить такую модель для других опорных областей коэффициентов фильтра. Например, можно допустить, что опорная область лежит в третьем квадранте, т. е.

, кроме случаев, когда , .      (6.187)

Цифра «3» подчеркивает, что эти коэффициенты отличны от коэффициентов первого квадранта . Благодаря сопряженной симметрии автокорреляционной функции

                                                                       (6.188)

можно сделать вывод, что

.                                                                    (6.189)

В этом случае результирующая оценка энергетического спектра

                  (6.190)

будет точно такой же, как и , описываемая выражением (6.183). Если мы изменим задачу, приняв, что опорной областью коэффициентов фильтра является второй квадрант, то мы получим другой ответ. Можно также записать матричное уравнение, аналогичное уравнению (6.177), но вектор  теперь должен отражать опорную область во втором квадранте:

.             (6.191)

Вектор  тоже необходимо преобразовать таким образом, чтобы его -й элемент равнялся , а остальные – нулю. Продолжая эту процедуру, можно показать, что

                                                                                       (6.192)

или

для

 и , ,                                        (6.193)

где

.                                                                 (6.194)

Результирующая оценка спектра  в общем случае не равна , как это будет показано в последующих примерах.

На рис. 6.13,а приведена контурная диаграмма оценки энергетического спектра чисто полюсным методом в первом квадранте для двух плоских волн в белом шуме. (Крестиком отмечены истинные волновое число и частота.) Для этого примера коэффициенты автокорреляции  можно вычислить в явном виде и использовать для получения . Для построения этих диаграмм принято . Чисто полюсная оценка дала два пика, узко вытянутых вдоль линии, соединяющей подлинные максимумы спектра, но очень широкие в направлении, перпендикулярном этой линии. Фактически в этом примере пики настолько широки вдоль линии 45°, что они по существу являются гребнями. Периодичность спектра по волновому числу и частоте привела к появлению на рисунке третьего гребня.

На рис. 6.13,б приведена соответствующая диаграмма для чисто полюсной оценки во втором квадранте . Она существенно отличается от оценки во втором квадранте. Два спектральных пика разрешены, но разрешение вдоль линии 45° гораздо лучше, чем разрешение вдоль линии, соединяющей истинные пики. Однако положение пиков в оценке спектра определено неправильно. Они оказываются несколько сближенными вдоль линии, соединяющей истинные спектральные пики.

Рис. 6.13.

а - чисто полюсная оценка спектра в первом квадранте двух плоских волн в белом шуме; б - чисто полюсная оценка спектра во втором квадранте.  - истинные положения спектральных пиков. Контуры соответствуют постоянному уровню (в дБ).

Чтобы уменьшить зависимость разрешения от направления, можно объединить  и . Джексон и Чьен [28] предложили для получения новой обратной спектральной оценки усреднять существующие обратные спектральные оценки. Так,

.                         (6.195)

На рис. 6.14 приведена диаграмма  для того же примера двух плоских волн в шуме при . Разрешение оценки спектра по крайней мере в этом простом примере гораздо ближе к равномерному, а положения пиков – правильные.

Рис. 6.14. Комбинированная чисто полюсная оценка спектра Джексона и Чьена.

Для формулировки чисто полюсной модели можно также использовать и другие опорные области, например клин. Представляется, что основным ограничением является рекурсивная вычислимость фильтра с одними полюсами, так чтобы слагаемое  в формуле (6.170) можно было свести к . Пэндрелл [29] исследовал метод чисто полюсного моделирования к оценке спектра для масок фильтра различной формы.