4.1.3. Граничные условия
До этого момента почти не
говорилось о граничных (начальных) условиях, принималось лишь, что эти условия
в случае необходимости можно получить в удобном виде. На самом деле здесь нужно
проявить осторожность: нельзя выбирать произвольно граничные условия, если мы
хотим иметь линейную инвариантную к сдвигам систему. Например, если известно,
что система линейна, она удовлетворяет условию
(4.7)
при
всех значениях параметра 
, включая 
. Это означает, что откликом на нулевой
входной сигнал будет нулевой выходной. Начальные условия нельзя выбрать так,
чтобы нарушалось это условие, а система оставалась линейной. Единственное явное
значение, которое можно приписать граничным условиям линейной системы, - это
нулевое значение.
Если задано, что линейность
требует равенства нулю всех граничных значений, то где должны быть расположены
эти отсчеты? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к свойству инвариантности
системы к сдвигу. Рассмотрим в качестве простого примера неустойчивое
разностное уравнение
. (4.8)
Результаты
фильтрации пары идентичных входов с двумя различными наборами граничных условий
показаны на рис. 4.8 и 4.9. В части а каждого рисунка представлены
использованные граничные условия, в части б - отклик на вход 
и в части в - отклик
на вход 
.
Из анализа этих рисунков можно сделать несколько важных выводов. Во-первых,
несмотря на то, что применялось одно и то же разностное уравнение, различные
граничные условия привели к весьма различным выходным сигналам. Во-вторых,
граничные условия рис. 4.8 не позволили получить систему, инвариантную к
сдвигам, а условия на рис. 4.9 к такой системе приводят. В чем разница между
этими двумя случаями?
Рис. 4.8.
а - набор граничных условий,
используемый в разностном уравнении (4.8); б - отклик на ; в - отклик на .
Рис. 4.9. а - другой набор граничных
условий, используемый в разностном уравнении (4.8); б - отклик на , в - отклик на .
Если полная система линейна и
инвариантна к сдвигам, то выходная последовательность 
должна быть сверткой входной
последовательности и импульсного отклика системы. Опорную область этого выхода
системы, которая определяется сверткой, можно найти с помощью методов,
рассмотренных в гл. 1. Если обозначить 
опорную область , то
,
. (4.9)
Это
выражение показывает, как следует выбирать граничные условия. Если они выбраны
так, что обращают некоторые отсчеты внутри в нуль, как на рис. 4.8, в то время как
свертка дает значения этих отсчетов, отличные от нуля, то система становится неинвариантной
к сдвигу.
Для фильтров конечного порядка
достаточно определить граничные условия в зоне конечной ширины, имеющей форму
буквы 
, Зона
граничных условий должна быть вне области , в то время как точное значение ширины
зоны и ориентация буквы зависит от формы выходной маски. Для
несимметричной полуплоскостной выходной маски инвариантность к сдвигу требует,
чтобы зона граничных условий была подобна той, что показана на рис. 4.6, т. е.
она должна очерчивать тупой угол, примыкающий к началу координат. Даже при
фильтрации последовательности, расположенной в первом квадранте, нужно
вычислять отсчеты выходной последовательности во втором квадранте, как это сделано
на рис. 4.9. Это одна из причин ограниченного использования НПП-фильтров.
В некоторых случаях ненулевые
граничные условия могут быть очень полезны, и мы не утверждаем, что их не
следует применять вообще. Однако в случае их применения следует помнить, что
результирующая система не будет ни линейной, ни инвариантной к сдвигу.
