1.2.6. Разделимые системы

Разделимой системой называется ЛИС-система, импульсный отклик которой является разделимой последовательностью. При этом ни входной сигнал, обрабатываемый разделимой системой, ни ее выходной сигнал не обязаны быть разделимыми. Как и для любой другой ЛИС-системы, выходной сигнал можно получить из входного, используя двумерную дискретную свертку. Однако в случае разделимой системы свертка факторизуется. Как будет показано в гл. 3 и 5, указанное свойство делает такие системы весьма эффективными. Посмотрим, как происходит факторизация свертки. Пусть импульсный отклик системы описывается следующим выражением:

.                 (1.55)

Тогда выходной сигнал системы имеет вид

.   (1.56)

Внутренняя сумма представляет собой двумерный массив чисел. Если определить  в виде

,                   (1.57)

то можно переписать выражение (1.56) как

.

Массив  можно вычислить, выполняя одномерную свертку каждого столбца  с одномерной последовательностью . Тогда выходной массив  вычисляется путем свертки каждой строки  с одномерной последовательностью . Можно поступить и наоборот, выполнив сначала свертку по строкам, а затем по столбцам; в любом случае получится один и тот же выходной сигнал. Здесь важно то, что выходной сигнал можно получить посредством нескольких одномерных сверток.

-мерный случай мало отличается от двумерного. И здесь разделимую систему можно реализовать с помощью одномерных сверток, однако число операций свертки быстро растет с увеличением размерности сигнала. Рассмотрим, например, -мерную входную последовательность , определенную на -мерном гиперкубе. При свертке этого сигнала с разделимой последовательностью вида  для получения выходной последовательности потребуется выполнить  одномерных сверток.