7.3.2. Теорема о проекционном срезе

К настоящему времени предложено большое количество алгоритмов восстановления. Некоторые из них реализованы в пространственной, другие - в частотной области преобразования Фурье. Независимо от того, как реализован тот или иной конкретный алгоритм, полезно рассмотреть, как осуществляется операция проецирования в обоих случаях.

Функция проецирования, определяемая уравнением (7.44), является одномерной. Если  имеет спектр Фурье , существует и одномерный спектр Фурье функции .

Обозначим этот спектр Фурье через . Тогда можно записать

Возвращаясь к неповернутой (исходной) системе координат, получим

,                                (7.47)

или

.                                                                                  (7.48)

Таким образом, получается следующий довольно интересный результат: спектр Фурье проекции, полученной под углом , является сечением двумерного преобразования Фурье неизвестной функции вдоль линии, проходящей через начало координат плоскости  и составляющей угол  с осью . Эту функцию сечения мы будем называть срезом  под углом . Уравнение (7.48) известно как теорема о проекционном срезе. Геометрическое пояснение этой теоремы приведено на рис. 7.12. Из теоремы о проекционном срезе следует, что значение нескольких проекций объекта обеспечивает значение преобразований Фурье вдоль выбранных радиальных линий в Фурье-плоскости. Таким образом, задача восстановления или оценки  эквивалентна задаче интерполяции преобразования Фурье в целом на основе этих радиальных сечений. При интерполяции можно также использовать и априорные знания об . Например, если известно, что  обладает конечной протяженностью, то  аналитична. Последнее в свою очередь дает в руки соответствующий способ интерполяции в частотной области преобразования Фурье.

Рис. 7.12. Связь между проекцией двумерной функции и срезом ее спектра Фурье.

(С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [18]. Proc. IEEE. © 1974 IEEE.)

Используя теорему о проекционном срезе, можно непосредственно вывести формулу обращения Радона [16] для частного случая, когда известны все проекции в интервале . Неизвестную функцию  можно найти из ее спектра Фурье  с помощью обратного преобразования Фурье

.

Если перейти в двумерной спектральной плоскости к полярным координатам , то получим

            (7.49)

Внутренний интеграл представляет собой обратное одномерное преобразование Фурье произведения  и . Таким образом, он соответствует отфильтрованной функции проецирования. В этом случае частотный отклик  является производной от преобразования Гильберта функции . Тогда можно переписать уравнение (7.49) в пространственной области следующим образом:

,             (7.50)

где

Функция  - это ядро Радона, которое является обратным преобразованием Фурье , существующим только в виде обобщенной функции. Мы рассмотрим некоторые его аппроксимации в разд. 7.3.5 при обсуждении реализации алгоритмов восстановления.