2.4. Дискретные преобразования Фурье для общего случая периодической дискретизации сигнала

В разд. 1.5 было показано, что можно вывести различные алгоритмы обработки применительно к сигналам, полученным с использованием различных растров периодической дискретизации.

В этом разделе мы используем тот же подход, который привел нас к алгоритмам ДПФ и БПФ, к общему случаю периодической дискретизации сигналов. Будет показано, что такие сигналы можно представить дискретными рядами Фурье и дискретными представлениями преобразования Фурье. Мы свяжем эти ДПФ с дискретизацией непрерывного преобразования Фурье и выведем также общее семейство алгоритмов быстрого преобразования Фурье, которое включает алгоритмы разбиения на строки и столбцы и разбиения по векторному основанию как частные случаи.

2.4.1. ДПФ для общего случая периодической дискретизации сигналов

Рассмотрим периодическую последовательность  с матрицей периодичности . Для такой последовательности

                                          (2.89)

для любого целочисленного вектора . Обозначим через  область плоскости , содержащую в точности один период этой последовательности. Будем называть эту область основным периодом последовательности. Она содержит  отсчетов  ( является обобщением , упоминавшимся ранее).

По аналогии с прямоугольным случаем выскажем гипотезу, что  можно единственным образом представить в виде конечной суммы комплексных синусоид с кратными периодами

,                    (2.90)

где  - целочисленный вектор, a  - область конечной протяженности в -области. Поскольку последовательность  периодична, то

   (2.91)

Так как правые части (2.90) и (2.91) должны равняться при всех значениях  и , необходимо, чтобы

                                          (2.92)

для всех целочисленных векторов  и . Из этого следует, что для нетривиальных значений  и   или

.

Если сделать подстановку для  и положить , можно прийти к следующему выражению:

.                   (2.94)

Поскольку комплексные экспоненты в этой сумме периодичны как по  (матрица периодичности ), так и по  (матрица периодичности ), видно, что самое большее  из отсчетов  могут быть независимыми. Таким образом, область , так же как и , будет содержать только  отсчетов. Если  определяется как

,                 (2.95)

то можно констатировать существование разложения в ряд Фурье для любой периодической последовательности. Легко проверить, что выражения (2.94) и (2.95) идентичны. Нетрудно также установить единственность (2.95) благодаря ортогональности комплексных экспонент  в области . Заметим также, что  периодична с матрицей периодичности

.                                     (2.96)

Если  является последовательностью ограниченной протяженности с опорной областью, ограниченной , можно применить следующие соотношения для рядов Фурье для определения дискретного преобразования Фурье:

,                (2.97)

.       (2.98)

Эти соотношения подобны выражениям (2.20) и (2.21). Единственная разница состоит в том, что матрица  не обязательно должна быть диагональной.

Напомним, что  - матрица периодичности в пространственной области. Она связывает последовательность конечной протяженности с ее периодическим продолжением. Периодическое продолжение  - не единственное; любая последовательность конечной протяженности может иметь несколько периодических продолжений, из которых ее можно восстановить. Рассмотрим, например, сигнал с -точечной опорной областью на прямоугольном растре, показанной на рис. 2.10, а. Его можно периодически продолжить в прямоугольной системе координат (рис. 2.10, б) с помощью матрицы периодичности

                                              (2.99)

или в гексагональной системе координат (рис. 2.10, в) с помощью матрицы

,                                  (2.100)

предполагая, что  делится на 2 [6]. Читатель может найти и другие способы периодического продолжения.

Рис. 2.10. Последовательность конечной протяженности с прямоугольной дискретизацией и два периодических дополнения этой последовательности.

Каждая матрица  приводит к различным периодическим продолжениям и тем самым к различным ДПФ. Насколько они подобны? Все они - преобразования одной и той же последовательности, и, следовательно, все соответствуют отсчетам интегрального преобразования Фурье этой последовательности. Чем они отличаются? Они отличаются способом, которым берутся отсчеты преобразования Фурье. Сравнивая (2.97) с (1.133а), которое определяет преобразование Фурье , можно увидеть, что

.                                   (2.101)

Матрица  - матрица дискретизации в пространстве преобразования Фурье.

При выводе теоремы отсчетов в гл. 1 мы определили две матрицы  и , связанные соотношением . Матрица  являлась матрицей дискретизации, показывающей, где должны быть взяты отсчеты аналогового сигнала с ограниченным частотным спектром, а матрица  показывала, каким образом Фурье-преобразование исходного сигнала периодически дополняется для получения преобразования Фурье сигнала после дискретизации. Одна из интерпретаций ДПФ состоит в том, что оно представляет собой результат дискретизации Фурье-преобразования. Матрица, определяющая отсчет спектра , является, таким образом, аналогом матрицы , за исключением того, что частотные и пространственные области обращены. Точно так же матрица , удовлетворяющая условию , аналогична матрице . Она показывает, как следует периодически продолжить (или наложить) последовательность в другой области, в данном случае в пространственной области.

Если  - непрерывный сигнал с ограниченным спектром, имеющий непрерывное Фурье-преобразование , то дискретный сигнал  может быть образован дискретизацией  с использованием матрицы . Как было показано в гл. 1, если

, то                                                   (2.102)

.                                     (2.103)

[Допущение, что сигнал  имеет ограниченный спектр, снимает проблему наложения.] Используя равенство (2.101), получим

.                          (2.104)

ДПФ  соответствует, таким образом, сведенным к определенному масштабу отсчетам Фурье-преобразования исходного непрерывного сигнала по частотам . Матрицу  можно интерпретировать как матрицу дискретизации, определяющую, каким образом осуществляется дискретизация непрерывного Фурье-преобразования .

В общем случае  и  являются матрицами размера , где  - размерность рассматриваемых сигналов. Матрица  должна быть обратимой, а элементы матрицы  (но не ) должны быть целыми числами. С учетом этого обстоятельства все формулы этого раздела равно справедливы для сигналов любой размерности.