1.1. Двумерные дискретные сигналы

Двумерный дискретный сигнал (его также называют последовательностью или массивом) - это функция, определенная на совокупности упорядоченных пар целых чисел. Так,

.                  (1.1)

Отдельные элементы последовательности будем называть отсчетами. Тогда  представляет собой отсчет последовательности  в точке . Значения отсчетов могут быть вещественными или комплексными. Если  и  считать переменными величинами, выражение  можно рассматривать как обозначение всей последовательности. Хотя такое обозначение некорректно, оно широко используется в технической литературе и не должно приводить к недоразумениям.

Иногда может оказаться полезным рассматривать сигнал  не просто как функцию, определенную на множестве целочисленных значений ее аргументов, а как совокупность его отсчетов. При такой интерпретации не возникает соблазна определить  для каких-то значений  и , не являющихся целыми числами. Графическое изображение двумерной последовательности представлено на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Графическое представление двумерной последовательности.

В соответствии с приведенным выше определением двумерные последовательности имеют бесконечную протяженность, поскольку  и  могут принимать любые целочисленные значения. Однако на практике для большинства двумерных последовательностей значения отсчетов известны только в конечной области плоскости  Например, при сканировании черно-белой фотографии за ее краями отсчеты не берутся. Вместо того чтобы ограничивать область определения такой двумерной последовательности, мы просто будем считать, что все значения отсчетов за пределами определенной области равны нулю.

1.1.1. Некоторые особые последовательности

Некоторые последовательности настолько важны, что удостоились специальных названий или символов. К ним принадлежит двумерный единичный импульс , называемый также единичным отсчетом. Единичный импульс определяется следующим образом:

            (1.2)

Если определить одномерный единичный импульс как

,              (1.3)

то двумерный единичный импульс можно записать в виде произведения двух одномерных единичных импульсов:

.                   (1.4)

На рис. 1.2 приведено стилизованное графическое представление двумерного единичного импульса.

Рис. 1.2. Двумерная единичная импульсная функция .

Большим кружком обозначен отсчет со значением 1,      маленькими кружками - отсчеты со значением 0.

Двумерный линейный импульс - это последовательность, имеющая постоянное значение в одном направлении и импульсная - в другом. Последовательности

                  (1.5а)

и

,                (1.5б)

показанные на рис. 1.3, являются примерами линейных импульсов. Очевидно, что для -мерного случая мы можем определить  не только -мерные единичные импульсы, но и -мерные линейные импульсы, -мерные плоскостные импульсы и т. д.

Рис. 1.3. Два примера двумерных линейных импульсов. а - ; б - .

Другой особой последовательностью является двумерная единичная ступенька , представленная на рис. 1.4. Ступенька определяется следующим образом:

             (1.6)

Рис. 1.4. Двумерная единичная ступенька .

Можно также рассматривать  как произведение

,                               (1.7)

в котором

                (1.8)

представляет собой одномерную единичную ступеньку. Двумерная единичная ступенька отлична от нуля в одном квадранте -плоскости.

Экспоненциальные последовательности определяются следующим образом:

, , ,                      (1.9)

где  и  - комплексные числа. Если абсолютные значения  и  равны единице, их можно записать в виде

, .

В этом случае экспоненциальная последовательность становится комплексной синусоидальной последовательностью:

.                        (1.10)

Экспоненциальные последовательности представляют особый интерес, так как они, как будет показано далее, являются собственными функциями двумерных линейных систем, инвариантных к сдвигу.

1.1.2. Разделимые последовательности

Все описанные до сих пор особые последовательности можно представить в виде

.                (1.11)

Любую последовательность, которую можно представить в виде произведения одномерных последовательностей, называют разделимой.

Хотя среди встречающихся на практике сигналов лишь очень немногие оказываются разделимыми, любое двумерное множество с конечным числом ненулевых отсчетов можно записать в виде суммы конечного числа разделимых последовательностей:

,                     (1.12)

где  - число ненулевых строк или столбцов. Простейшее представление такого рода можно получить, выразив  в виде суммы отдельных строк последовательности. Для этого надо принять

,                  (1.13а)

.              (1.13б)

Возможны и другие разложения такого рода. Иногда они оказываются чрезвычайно полезными.

Разделимые последовательности с успехом используются в качестве тестовых входных сигналов при оценке характеристик и настройке экспериментальных систем.

1.1.3. Последовательности конечной протяженности

Другим важным классом дискретных сигналов являются двумерные последовательности конечной протяженности. Слова «конечная протяженность» означают, что эти сигналы равны нулю вне области конечной протяженности в -плоскости. Эта область называется опорной областью сигнала. Одна из типичных последовательностей конечной протяженности, изображенная на рис. 1.5, отлична от нуля только внутри прямоугольника

, .                  (1.14)

Рис. 1.5. Последовательность конечной протяженности с опорной областью прямоугольной формы.

Хотя области прямоугольной и квадратной форм чаще других используются в качестве опорных областей последовательностей конечной протяженности, вполне можно представить себе опорную область и другой формы.

Внимательный читатель, возможно, обнаружит неоднозначность определения опорной области двумерной последовательности конечной протяженности. Очевидно, что если последовательность равна нулю вне области , она также равна нулю вне любой более протяженной области, содержащей в себе . Часто можно упростить представление последовательности с опорной областью неправильной формы, а также операции над ней, если включить ее опорную область внутрь прямоугольной области большего размера.

1.1.4. Периодические последовательности

Другой важный класс двумерных последовательностей составляют периодические дискретные сигналы. Двумерную периодическую последовательность, как и ее одномерный аналог, можно рассматривать как сигнал, регулярно повторяющийся в пространстве. Однако, если учесть, что двумерный сигнал должен повторяться сразу в двух направлениях, формальное определение периодической двумерной последовательности оказывается сложнее определения периодической одномерной последовательности. Формулировку общего определения начнем с частного случая.

Рассмотрим двумерную последовательность , удовлетворяющую следующим условиям:

,                (1.15а)

.                (1.15б)

Эта последовательность обладает двойной периодичностью; ее значения повторяются, если переменная  увеличивается на  или если переменная  увеличивается на . На рис. 1.6 приведено изображение такой последовательности. Величины  и , представляющие минимальные положительные целые числа, для которых справедливы выражения (1.15), назовем горизонтальным и вертикальным интервалами периодичности последовательности .

Рис. 1.6. Двумерная периодическая последовательность с .

Из всех отсчетов только  отсчетов последовательности  оказываются независимыми; остальные отсчеты определяются условиями периодичности. Будем называть периодом последовательности  любую связную область плоскости , содержащую точно  отсчетов, если значения этих отсчетов независимы. Часто наиболее удобной формой периода является прямоугольник , однако это не единственная возможность. Например, область, заштрихованную на рис. 1.7, также можно рассматривать как один период периодической последовательности.

Рис. 1.7. Двумерная периодическая последовательность с периодом неправильной формы.

Теперь рассмотрим двумерную последовательность , которая удовлетворяет более общим условиям периодичности:

,                (1.16а)

,                (1.16б)

причем

.                (1.17)

Упорядоченные пары  и  можно рассматривать как векторы  и , представляющие собой смещения от любого отсчета к соответствующим отсчетам двух других периодов (штрих обозначает операцию транспонирования, преобразующую упорядоченную пару в вектор-столбец). Один период такой последовательности заключен в области, имеющей форму параллелограмма, смежные стороны которого образованы векторами  и . Читателю предлагается доказать, что число отсчетов в этой области равно . На рис. 1.8 представлена двумерная периодическая последовательность с  и .

Рис. 1.8. Периодическая последовательность с векторами периодичности  и .

Понятие периодичности легко обобщается на случай -мерных сигналов. Для простоты обозначим через  упорядоченную группу из  целочисленных переменных . Тогда  представляет собой -мерную периодическую последовательность при условии, что существуют  таких линейно независимых -мерных целочисленных векторов , что

,      .                 (1.18)

Векторы  называются векторами периодичности, их можно использовать в качестве столбцов матрицы  размерностью , называемой матрицей периодичности:

.                                  (1.19)

Требование линейной независимости векторов периодичности эквивалентно требованию наличия у матрицы  ненулевого определителя. В частном случае, когда  - диагональная матрица, можно сказать, что последовательность  прямоугольно периодична. Именно этот частный случай был рассмотрен выше.

Если  периодична с матрицей периодичности , то для любого целочисленного вектора

.                                         (1.20)

Отсюда следует, что если  - некоторая целочисленная матрица, то  также будет матрицей периодичности для . Таким образом, любая периодическая последовательность имеет не единственную матрицу периодичности. Между прочим, можно отметить, что абсолютное значение определителя матрицы периодичности дает число отсчетов последовательности , содержащееся в одном периоде. Это обстоятельство будет использовано в гл. 2, в которой рассматривается -мерное дискретное преобразование Фурье.