1.4.2. Периодическая дискретизация при произвольном растре дискретизации

Понятие прямоугольной дискретизации легко обобщить. Определив два линейно независимых вектора  и  можно описать расположение двумерного периодического множества отсчетов на плоскости  следующим образом:

,                                                       (1.128а)

.                                                    (1.128б)

С использованием векторных обозначений эти соотношения примут вид

,                                                                     (1.129)

где , , a  - матрица, образуемая векторами дискретизации  и

.                                                (1.130)

Поскольку мы условились, что  и  линейно независимы, определитель матрицы  не равен нулю. Будем называть  матрицей дискретизации.

Дискретизация непрерывного сигнала  образует дискретный сигнал

.                                                        (1.131)

Ha рис. 1.25 показано расположение отсчетов. По-прежнему можно спросить: как связаны преобразования Фурье сигналов  и  и при каких условиях можно реконструировать  по значениям отсчетов ? Будем рассуждать, как и раньше, прежде всего определяя двумерное преобразование Фурье

                 (1.132а)

и отмечая, что

,                    (1.132б)

где вектор частот  задается . [Заметим, что интегралы в (1.132) - это двойные интегралы, так как дифференциалы  и  представляют собой векторы.]

Рис. 1.25. Расположение отсчетов на плоскости , определяемое векторами  и , образующими матрицу дискретизации .

Преобразование Фурье сигнала  в векторных обозначениях имеет вид

,                                               (1.133а)

где . Тогда

.                                   (1.133б)

Поскольку  получается из  дискретизацией, можно написать

.                       

Подстановка  приводит к выражению

.              (1.134)

Как и раньше, интегрирование по плоскости  представляется как бесконечная сумма интегралов по квадратным областям. Результат аналогичен выражению (1.120). Далее

,               (1.135)

где  - вектор целочисленных значений. Второй экспоненциальный множитель, как и раньше, всегда равен 1, поэтому сравнение (1.135) и (1.133б) приводит к виду

 или                       (1.136)

,                                     (1.137)

где  - матрица, удовлетворяющая условию

,                                                                           (1.138)

а  - единичная матрица размера . Выражение (1.137) содержит искомую связь между преобразованиями Фурье сигналов  и .

В случае прямоугольной дискретизации матрицы  и  принимают вид

;            ,

и выражение (1.137) сводится к (1.122).

 можно рассматривать как периодическое продолжение , но теперь периодичность задается матрицей , которая представляет собой набор из двух векторов периодичности  и :

.             (1.139)

Поскольку функция  периодична как по , так и по  с периодом , можно заключить, что  периодична по  с матрицей периодичности

.

Рассмотрим непрерывный сигнал  с преобразованием Фурье, показанным на рис. 1.24,а. Если дискретизацию  производить согласно матрице дискретизации

,              (1.140)

которая соответствует расположению отсчетов, показанных на рис. 1.25, то функция  будет периодически повторяться согласно следующей матрице периодичности :

.                       (1.141)

Следовательно,  как функция от , определяемая (1.137), будет выглядеть, как показано на рис. 1.26.

Рис. 1.26. Периодическая функция  с матрицей дискретизации , определяемой выражением (1.140).

Теперь опять следует рассмотреть важный случай непрерывного сигнала  с ограниченным спектром. Преобразование Фурье  тождественно равно нулю вне области конечной протяженности , которую мы будем называть полосой частот. Изменяя матрицу дискретизации , можно матрицу периодичности  подобрать так, чтобы не было перекрытий периодически повторяемых копий  в правой части выражения (1.137).

Подбирая значения  таким образом, мы обеспечиваем отсутствие наложений. Тогда для значений , лежащих в квадрате со сторонами длиной  и с центром в начале координат, выражение (1.137) упрощается:

.                                                   (1.142)

Следовательно, функцию  можно восстановить по функции , а непрерывный сигнал  - по последовательности . Можно записать

.                                 (1.143)

Выполнив обратное преобразование Фурье функций, стоящих слева и справа от знака равенства, и выразив  через значения отсчетов , получим выражение, аналогичное (1.127):

.                 (1.144)

Здесь интеграл берется по полосе  в плоскости частот. Перепишем выражение (1.144) в виде

, где                                           (1.145)

.                                            (1.146)

Интерполяционная функция  дает возможность реконструировать значения  в точках, расположенных между положениями отсчетов .

Подведем итоги рассмотрения этого более общего случая. Пусть имеется непрерывный сигнал  с ограниченным спектром. Преобразование Фурье этого сигнала  имеет нулевые значения вне области  плоскости частот . Требуется представить  последовательностью значений отсчетов . Для этого следует найти соответствующую матрицу дискретизации , которая позволит восстановить  по  с помощью равенства (1.145).

Из (1.137) видно, что преобразование Фурье дискретного сигнала  дает последовательность взвешенных и периодически повторенных копии . Матрица периодичности  определяет два линейно независимых направления, в которых происходит повторение . Для решения поставленной задачи следует выбирать  таким образом, чтобы не было перекрытий отдельных копий  и соответственно отсутствовало наложение. В этом случае  удовлетворяет равенству (1.143).

Выбор матрицы периодичности  определяет матрицу дискретизации , поскольку  и  связаны соотношением (1.138). В общем случае выбор  неоднозначен; при соответствующей плотности отсчетов на плоскости  любой сигнал с ограниченным спектром можно представить по различным растрам дискретизации. Однако часто желательно представить  минимальным числом отсчетов. Можно показать, что плотность отсчетов (количество отсчетов на единицу площади) составляет . Минимизация этой величины эквивалентна минимизации . Поэтому, желая достичь эффективной формы растра дискретизации сигнала с ограниченным спектром, необходимо выбрать матрицу периодичности  с минимальным значением , при котором обеспечивается отсутствие наложения для конкретной формы полосы частот  нашего сигнала.

Доказательство обобщенной теоремы отсчетов легко распространяется на случай -мерных сигналов. Поскольку мы использовали векторные обозначения, единственное отличие в выражениях будет состоять в замене константы  на более общую .

Пример 7

Составление морских сейсмических карт может дать результаты, которые подвергаются дискретизации несколько необычного вида. На рис. 1.27 судно, буксирующее цепочку датчиков, движется со скоростью  узлов в направлении, перпендикулярном океанскому течению, имеющему скорость  узлов (1 морской узел = 1,87 км/ч). Датчики расположены равномерно вдоль прямой линии с интервалом  все датчики периодически опрашиваются и их показания фиксируются. Временной интервал опроса датчиков (период отсчета) обозначим через . Как происходит дискретизация изучаемого процесса в пространстве?

Рис. 1.27. а - схема для примера 7; б - результирующий растр дискретизации: ; .

В первом приближении датчики остаются расположенными вдоль прямой линии, однако эта линия отклоняется от направления движения судна на угол . Результирующий растр показан на рис. 1.27,б. Этот растр соответствует матрице дискретизации

.