3.5.4. Реализация фильтров, спроектированных с использованием трансформаций

КИХ-фильтры, разработанные методом трансформации, так же, как и любые другие КИХ-фильтры., можно реализовать либо методом прямой свертки, либо методом ДПФ. Кроме того, для них существует третий метод реализации, связанный с особенностями их структуры. Для фильтров умеренного порядка этот метод часто оказывается наиболее эффективным и сам по себе может служить, достаточным основанием для использования метода трансформации в ряде приложений.

Возможность третьего метода реализации следует из выражения (3.88), т. е. . Для реализации этого частотного отклика можно построить цифровую схему, пользуясь рекуррентной формулой для вычисления полиномов Чебышёва

,                                                                  (3.97а)

,                                                                  (3.97б)

.                                                (3.97в)

Если заменить  на , то рекуррентная формула приобретает следующий вид:

.                     (3.98)

Используя это соотношение и имея сигналы, Фурье-спектры которых описываются функциями  и , можно образовать сигнал, Фурье-спектр которого равен . Соответствующая схема приведена на рис. 3.14. Поскольку каждый из входных сигналов в свою очередь может быть образован из двух сигналов более низкого порядка, можно построить ступенчатую схему с  выходами так, чтобы импульсный отклик части схемы между входом и -м выходом равнялся . Взвесив выходные сигналы в соответствии с выражением (3.88), получим реализацию для фильтра с откликом . Эта реализация воплощена в структуре, изображенной на рис. 3.15.

Рис. 3.14. Схемная реализация Чебышевской рекурсии.

Рис. 3.15. -мерный фильтр, синтезированный с помощью трансформации.

Коэффициенты  являются коэффициентами одномерного фильтра-прототипа. Фильтры  определяют трансформирующую функцию. (С любезного согласия Дж. X. Мак-Клеллана и Д. С. К.Чэна [18]. © 1977 IEEE.)

Блок этой схемы с частотным откликом  представляет собой КИХ-фильтр нижних частот с нулевой фазой. Для трансформации первого порядка (3.89) -точечный импульсный отклик этого фильтра будет иметь вид

             (3.99)

Такой фильтр можно реализовать непосредственно, причем для этого потребуется выполнить 5 умножений и 8 сложений на один выходной отсчет. Поскольку вся схема содержит  фильтров, в целом на каждый выходной отсчет потребуется  умножений и  сложений.

Важной чертой рассмотренной схемы является ее модульность. Для изменения одномерного фильтра-прототипа достаточно взять другие весовые коэффициенты , а для изменения трансформирующей функции - изменить коэффициенты фильтра в каждом блоке. При реализации фильтра, спроектированного с помощью -мерной трансформации, можно заменить  на импульсный отклик, соответствующий -мерной трансформирующей функции. Мак-Клеллан и Чэн [18] показали, что эти фильтры обладают хорошими свойствами по отношению к эффектам квантования, когда фильтр реализуется с использованием арифметических устройств конечной точности.

Оценка требуемой памяти осложняется из-за того, что как весь фильтр в целом, так и фильтры отдельных блоков обладают фазовыми характеристиками с нулевой фазой. Поскольку обычно проще выполнить реализацию фильтра в первом квадранте, рассмотрим использование операторов вида  для реализации импульсного отклика

,                  (3.100)

где  - порядок трансформации. Такая структура приведена на рис. 3.16. Ветви, помеченные  соответствуют задержке  отсчетов по координате  и  отсчетов по координате . Каждый из трансформирующих фильтров требует памяти емкостью немного больше  строк. Кроме того, каждая ветвь, помеченная , требует памяти приблизительно на  строк. Таким образом, суммарная требуемая емкость составляет  строк, что приблизительно в два раза больше, чем в случае реализации при помощи свертки.

Рис. 3.16. Схема фильтра с линейной фазой, построенного с помощью физически реализуемой трансформирующей функции с линейной фазой.

В -мерном случае при трансформации первого порядка  становится -мерным фильтром с пространственной протяженностью , а остальная часть структуры не изменяется. Выходной сигнал такого фильтра требует  умножений и  сложений на один отсчет. Кроме этого необходимо хранить в памяти  гиперстрок входного массива размерностью  каждая. Это значит, что для гиперкуба с длиной каждой стороны  точек необходимо запомнить  слов. Требования к объему памяти приблизительно вдвое больше, чем в случае прямой свертки, но количество умножений на один выходной отсчет растет только линейно с ростом . Как и при реализации прямой сверткой, каждый входной отсчет нужно извлечь и поместить во вторичную память только один раз. Рассматриваемая реализация имеет очевидные преимущества перед прямой сверткой в двумерном случае, а по мере роста размерности задачи выигрыш становится еще больше.

В табл. 3.3 приведено число умножений на один выходной отсчет в предположении, что фильтрации подвергается -точечный входной массив -точечным КИХ-фильтром при реализации фильтра прямой сверткой, БПФ и методом трансформаций [4].

Таблица 3.3. Число операций умножения на один выходной отсчет, требующееся для пропускания -точечного входного множества через -точечный фильтр с нулевой фазой, реализованный методом прямой свертки, БПФ и методом трансформаций. (С любезного согласия Рассела М. Мерсеро [4], © 1981 Springer-Verlag.)