6.5.2. Оценка спектра с высоким разрешением

Термин «оценка спектра с высоким разрешением» можно приписать любому из тех разнообразных методов, которые позволяют получить лучшую оценку спектра с частотным разрешением по сравнению с классическими оценками, рассмотренными в предыдущем разделе. В настоящем разделе мы рассмотрим одну из этих методик, предложенную Кэпоном [14, 21]. Эту процедуру иногда ошибочно называют «методом максимального правдоподобия», поскольку форма оптимального фильтра, используемого в данной процедуре, подобна той, которая была найдена в методе оценки по максимальному правдоподобию амплитуды синусоидальной волны известной частоты в гауссовом случайном шуме [14, 15, 22].

Для начала примем, что коэффициенты автокорреляции  двумерного дискретного случайного процесса  известны для , . Одним из способов оценки спектральной мощности  при конкретном значении волнового числа и частоты  является фильтрация процесса узкополосным фильтром, коэффициент пропускания которого равен единице для  и мал для всех других значений. Можно выбрать этот фильтр с минимальной выходной мощностью с учетом ограничения, что его коэффициент пропускания равен единице при . Среднюю мощность выхода этого фильтра можно использовать как оценку , которую мы обозначим через .

Вместо использования пропускающего фильтра для оценки  можно демодулировать , умножив его на комплексную экспоненту и затем пропустив результат через узкополосный фильтр нижних частот. Пусть функция

                               (6.141)

обозначает демодулированный сигнал, а функция  - импульсный отклик низкочастотного фильтра с коэффициентом пропускания при нулевой частоте, равным единице. Допустим, что функция  является вещественным импульсным откликом конечной протяженности, равным нулю вне области ; . В таком случае ограничение на коэффициент пропускания  можно записать в виде

.                                                               (6.142)

Если сигнал  пропускается через этот низкочастотный фильтр, то выходной сигнал @ записывается следующим образом:

,                  (6.143)

а средняя мощность выходного сигнала будет равна

        (6.144)

где

.                           (6.145)

Нам необходимо минимизировать , варьируя коэффициенты импульсного отклика  с учетом ограничений, заданных выражением (6.142). Сделав это, мы полностью пропустим необходимую компоненту с заданной частотой и волновым числом и минимизируем вклад в выходную мощность всех других компонент.

Минимизацию с учетом ограничений можно осуществить методом множителей Лагранжа. Вначале составляется квадратичная форма

,                                   (6.146)

в которую входит постоянный, но пока неизвестный множитель Лагранжа . Используя выражение (6.144), продифференцируем  по коэффициентам  и приравняем результат к нулю. Тогда получим

,                     (6.147)

или, что то же самое,

.                                                          (6.148)

Для отыскания оптимальных коэффициентов  постулируем существование обратной функции , удовлетворяющей условию

.                (6.149)

Затем, умножая обе части уравнения (6.148) на , производя суммирование по  и  и применяя уравнение (6.149), определим, что

.                                                 (6.150)

Неизвестный параметр , можно легко найти применением ограничения (6.141) к выражению для . В этом случае

.                                                 (6.151)

Комбинируя этот результат с уравнением (6.150), получим коэффициент оптимального импульсного отклика:

.                                       (6.152)

Подставив этот результат в уравнение (6.144), читатель может убедиться, что средняя мощность выхода фильтра [рассматривая в качестве спектральной оценки с высоким разрешением функцию ] описывается выражением

.                  (6.153)

Поскольку величина  явно зависит от выбранной точки , для которой производится оценка спектра, сначала может показаться, что для оценки спектра в любой другой точке необходима новая величина . К счастью, это не так. Мы можем определить всего одну обратную функцию  в виде

,                   (6.154)

поэтому

.                                         (6.155)

В этом случае величину  можно вычислить один раз и использовать в уравнениях (6.154) и (6.153) для получения оценки спектра с высоким разрешением в любой точке  пространства волновое число - частота:

.                       (6.156)

Это выражение можно несколько упростить, выполнив суммирование по тем значениям , для которых разности  и  постоянны. Определим множество , элементы которого состоят из сумм , когда  и :

.                 (6.157)

Поскольку  и , переменные  и  лежат в пределах  и  соответственно. Используя выражение (6.157), оценку с высоким разрешением можно переписать в следующем виде:

.                                          (6.158)

Знаменатель этого выражения можно рассматривать как оценку инверсной спектральной мощности . Коэффициенты  играют роль оценок коэффициентов автокорреляции в оценке периодограммы . Если известны значения  для  и , то соотношение (6.158) сразу дает оценку .

Теперь следует обратиться к проблеме определения  из коэффициентов автокорреляции , которые мы считаем известными для , . Это эквивалентно нахождению инверсии  блочной тёплицевой матрицы, для которого существуют эффективные алгоритмы [23].

Чтобы показать, каким образом наша задача сводится к инверсии блочной тёплицевой матрицы, запишем сначала составную матрицу

,                                                                      (6.159)

в которой каждая субматрица есть матрица . Субматрицы вдоль любой диагонали идентичны. Далее, каждая из субматриц является тёплицевой матрицей вида

.                 (6.160)

Такая матрица с тёплицевыми субматрицами называется блочной тёплицевой матрицей. Числа  в матрице (6.160) – это известные коэффициенты автокорреляции.

Определим матрицу, обратную , как  и запишем ее в следующем виде:

,                                  (6.161)

где субматрицы имеют вид

.                   (6.162)

Теперь можно непосредственно показать, что матричное тождество

                                                                                         (6.163)

эквивалентно соотношению между  и , описываемому выражением (6.155). Поэтому значения  можно вычислить из значений  с помощью матрицы  и ее обращения. Затем  легко вычисляются из формулы (6.157), а  - из формулы (6.158).

На практике коэффициенты автокорреляции  неизвестны, и их необходимо определить из набора измерений . Для оценки спектра с высоким разрешением интересно воспользоваться методами непосредственной оценки коэффициентов  в выражении (6.158) из набора измерений.