6.4.1. Анализ узкополосного формирователя луча

Вновь рассмотрим формирователь луча по принципу фильтрации и задержки из разд. 6.2.5

, где                                                           (6.81)

.                                      (6.82)

Как и прежде,  - спектр Фурье сигнала -ro приемника ,  - частотный отклик фильтра, примененного к , а  - задержки наведения. Можно выполнить преобразование Фурье обеих частей выражения (6.81) и получить новое выражение

.                         (6.83)

С целью некоторого упрощения определим отклик фильтра в виде

,                                            (6.84)

так что выражение (6.83) можно переписать в следующей форме:

.                                                  (6.85)

Благодаря относительно высокому разрешению но временной частоте и поскольку во многих приложениях используются только узкополосные сигналы, мы можем рассматривать это выражение как операцию формирования луча на единственной частоте .

Для некоторых приложений необходимо вычислять мощность сигнала на выходе формирователя, использующего принцип фильтрации и суммирования на частоте , которую мы обозначим через . Для этого можно найти автокорреляционную функцию  и выполнить ее преобразование Фурье. Для начала определим взаимную корреляционную функцию  сигналов -го и -го приемников. Она описывается следующим выражением:

.                                                           (6.86)

Спектр Фурье этой функции обозначим через . ( обозначает математическое ожидание.) Теперь нетрудно показать, что

.                                   (6.87)

Отметим разницу в обращении с пространственными и временными переменными. Благодаря большому количеству временных выборок математическое ожидание оператора в выражении (6.86) для  можно с достаточной степенью точности аппроксимировать средним по времени, если сигнал является эргодическим. Однако из-за ограниченного количества датчиков для каждой пары вычисляется отдельная взаимная корреляционная функция. Выражение (6.87) можно записать в матричной форме следующим образом:

, где                                                             (6.88)

,                               (6.89)

,                                                   (6.90)

a  означает транспонирование с комплексным сопряжением. (Для удобства мы опустили любое явное выражение зависимости  и  от .)

До этого мы не касались вопроса искажения шумами сигналов, получаемых датчиками. Разумеется, в практических приложениях шум может исходить как от среды, так и от самих датчиков; он может иметь вид случайных некоррелированных флуктуаций или нежелательных мешающих сигналов. Предположим, что сигналы приемника состоят из идеальной компоненты и аддитивной шумовой компоненты, некоррелированной с сигналом. Тогда корреляционную матрицу  можно записать в виде

.                                                     (6.91)

Вектор  представляет собой идеальную компоненту сигнала на частоте , принимаемую каждым приемником. Тогда

,                                        (6.92)

где  - одномерное преобразование Фурье во времени

,                                                           (6.93)

a  представляет собой отсчеты идеального сигнала. Вектор  нормализован ограничением

,                                                                                (6.94)

так что  в (6.91) является средней по  датчикам мощностью сигнала на частоте  [14].

Матрица  является корреляционной матрицей шума, нормализованной таким образом, что ее след равен . Величина  представляет собой среднюю мощность шума на частоте . Тогда -й элемент матрицы  определяется выражением

,                                     (6.95)

где  является шумом -го приемника. Используя формулу (6.87), спектр мощности  можно записать в следующем виде:

.                                              (6.96)

Отношение

                                                                              (6.97)

можно рассматривать как коэффициент усиления узкополосного формирователя луча по принципу фильтрации и суммирования [14] в процессе обработки. Наряду с разрешением он является важной характеристикой фильтра.

Кратко рассмотрим усиление в процессе обработки и выходной спектр мощности для трех векторов , которые мы обозначим ,  и . Однако вначале определим вектор наведения , необходимый для определения вектора  при рассмотрении конкретного идеального сигнала. Если  - вектор сигнала, определяемый формулой (6.92), то вектор  должен равняться вектору . Следовательно, вектор  удовлетворяет условию

.                                                                               (6.98)

Когда , говорят, что формирователь луча соответствует идеальному сигналу. (Кокс [14] рассмотрел качество работы нескольких оптимальных формирователей луча при условиях несоответствия, когда реальный сигнал отличен от идеального.) Для случая одной плоской волны вектор наведения  описывается следующим образом:

,                                   (6.99)

где  - уже упоминавшиеся задержки наведения. Конечно, идеальный сигнал может быть сложнее одной плоской волны, например, он может быть сферической волной, излучаемой из точки, находящейся вблизи решетки.

Теперь можно рассмотреть случай, когда вектор описывается выражением

,                                                                              (6.100)

что соответствует формирователю луча по принципу суммирования с задержкой и сигналу в виде плоской волны. В этом случае коэффициент усиления обработки, согласно (6.97), описывается выражением

.                                                                           (6.101)

Если шум пространственно некоррелирован, т. е. , то усиление  становится равным , т. е. числу датчиков. Однако в общем случае спектр мощности описывается соотношением

.                                              (6.102)

(Хотя в явном виде это и не обозначено, величины , ,  и  являются функцией .)

Другой интересный случай возникает, когда вектор задается в виде

,                                                                        (6.103)

где  - матрица, обратная корреляционной матрице шума. Этот фильтр возникает как оптимальное решение нескольких задач обнаружения и оценивания [14], включая оценку сигнала операции фильтрации и суммирования по методу максимального правдоподобия, максимизации выходного отношения сигнала к шуму и минимизации дисперсии выходного шума [15]. Если шум пространственно некоррелирован, т. е. , то вектор  сводится к вектору . Усиление обработки для вектора  описывается выражением

,                                                                       (6.104)

а спектр мощности - выражением

.                                          (6.105)

Оценка спектра с высоким разрешением, проведенная Кэпоном [21], записанная в соответствующих обозначениях [14], дает вектор фильтра в виде

.                                                                        (6.106)

Отметим аналогию между векторами  и , разница состоит в использовании обратной корреляционной матрицы суммы сигнала и шума вместо обратной корреляционной матрицы шума. Усиление для вектора  описывается выражением

      ,                                                          (6.107)

а спектр – выражением

                                 (6.108)

Последнее выражение можно заметно упростить, записав функцию  в виде, определяемом соотношением (6.88):

.                                          (6.109)

Можно вывести соотношения и для других оптимальных узкополосных формирователей луча, включая формирователи, основанные на винеровском подходе к фильтрации по минимуму среднеквадратичной ошибки между действительным выходом формирователя луча и требуемым выходом формирователя [15]. Кроме того, многие приложения обработки сигналов антенных решеток требуют систем формирования луча, которые могут адаптироваться к медленно изменяющимся свойствам или статистике входных сигналов и шума. В этих случаях вектор фильтра периодически корректируется с помощью алгоритма адаптации для отражения изменений, происходящих в окружающей среде [15].