3.2. Реализация КИХ-фильтров

3.2.1. Прямая свертка

Из гл. 1 известно, что выходной сигнал любого ЛИС-фильтра можно получить из входного с помощью свертки по формуле скользящего суммирования

.                     (3.3)

Импульсный отклик КИХ-фильтра содержит лишь конечное число ненулевых отсчетов, и пределы суммирования в (3.3) конечны. В этом случае формуле скользящего суммирования представляет собой алгоритм, позволяющий вычислить последовательные выходные отсчеты фильтра. Если, например, предположить, что фильтр обладает опорной областью , то для вычисления выходных отсчетов можно воспользоваться соотношением

.                (3.4)

Если в наличии имеются все входные отсчеты, то выходные отсчеты можно вычислять в любом порядке; их можно вычислять и одновременно. Если требуются только определенные отсчеты выходного сигнала, то можно ограничиться вычислением лишь этих отсчетов. Однако для получения каждого выходного отсчета требуется выполнить  умножений и  сложений.

При вычислении  используются значения входных отсчетов из  «предыдущих» столбцов и  «предыдущих» строк. Если входные отсчеты поступают строка за строкой, требуется память, достаточная для хранения  строк входной последовательности. Если, наоборот, на вход поступают столбец за столбцом, необходима память для хранения  входных столбцов.

Фильтр с нулевой фазой с вещественным импульсным откликом удовлетворяет условию , т. е. каждому отсчету соответствует парный ему отсчет с тем же значением. В этом случае, воспользовавшись свойством дистрибутивности сложения, можно поменять местами некоторые операции умножения и сложения в формуле (3.3), чтобы уменьшить их число, однако количество умножений, требуемых для реализации фильтра, все еще остается пропорциональным порядку фильтра. Если, например, опорная область фильтра прямоугольна и ее центр расположен в начале координат, то

Реализация КИХ-фильтра на основе выражения (3.6) требует приблизительно вдвое меньше умножений, чем при использовании выражения (3.5), хотя в обоих случаях выполняется одно и то же число сложений и требуется тот же объем памяти. Если импульсному отклику КИХ-фильтра присущи другие формы симметрии, ими можно воспользоваться для дальнейшего уменьшения числа требуемых умножений.