3.4.2. Синтез КИХ-фильтров с нулевой фазой и равновеликими пульсациями

Выше уже отмечалось, что ширина переходной полосы фильтра и величина ошибки аппроксимации в полосах пропускания и непропускания связаны таким образом, что улучшение одного параметра приводит к ухудшению другого. При заданной конфигурации полос пропускания и непропускания наименьшие пульсации в этих областях достигаются при синтезе фильтров с равновеликими пульсациями. Синтез проводится с минимизацией критерия ошибки Чебышева

.                               (3.55)

Здесь  представляет собой компактную область частотной плоскости, которая обычно выбирается так, чтобы она включала в себя полосы как пропускания, так и непропускания фильтра (вместе с их границами). Как и прежде, рассматривается КИХ-фильтр с нулевой фазой, частотный отклик которого записывается в виде

.                    (3.56)

В силу симметрии или других ограничений не все коэффициенты фильтра будут независимыми. Выделим независимые параметры и запишем частотный отклик в виде

,                                          (3.57)

где базисные функции  вещественны.

Фильтры с минимизацией критерия ошибки Чебышева называются минимаксными, поскольку для них минимально максимальное значение ошибки. Их также называют фильтрами с равновеликими пульсациями, так как функция ошибки  содержит много пиков, или пульсаций, одинаковой величины. На рис. 3.8 приведен пример фильтра с равновеликими пульсациями с -точечным импульсным откликом [11]. Полоса пропускания этого фильтра представляет собой диск радиусом , а полоса непропускания - пространство вокруг диска с радиусом . Максимальная погрешность составляет 0,0569, а номинальный коэффициент передачи в полосе пропускания равен 1.

Рис. 3.8. Отклик -точечного КИХ-фильтра с нулевой фазой и равновеликими пульсациями.

(С любезного согласия Девида Б. Харриса и Расселла М. Мерсеро [11]. © 1977 IEEE.)

Задачу оптимизации можно решить с помощью итерационных алгоритмов, обеспечивающих сходимость за конечное число шагов. Эти алгоритмы являются двумерными аналогами одномерного алгоритма Паркса-Мак-Клеллана [8], который в свою очередь является модификацией второго алгоритма Ремеза [9]. В одномерном случае решение с равновеликими пульсациями, как это можно доказать, единственно, вычислительные трудности не ограничивают порядок фильтра, и алгоритм обеспечивает быструю сходимость. В многомерных, случаях, главным образом из-за отсутствия теоремы факторизации, алгоритмы сходятся более медленно, они сложнее в понимании и несколько ограничены в возможностях [10, 11].

Экстремальная точка - это точка  в области аппроксимации , в которой функция ошибки  принимает максимальное значение. Множество экстремальных точек - это совокупность всех таких точек. В общем случае оно содержит  членов. Это множество является критическим множеством, если ошибки в точках множества удовлетворяют определенным знаковым условиям. Свободные параметры фильтра , минимизирующие , полностью определяются критическим множеством, и оптимальное значение  равно значению ошибки в каждой точке этого множества.

Если область аппроксимации  содержит конечное число частотных отсчетов, то аппроксимация может состоять в поиске критического множества. Этот поиск облегчается двумя положениями, которые обычно формулируются как теоремы [11]. Во-первых, если  - наилучшая аппроксимация к  на , а  - критическое множество, отвечающее ошибке , то  - наилучшая аппроксимация к  на . Во-вторых, если  содержит  точку, то  - аппроксимация, минимизирующая максимальную ошибку среди всех наилучших аппроксимаций к  на подмножествах , содержащих  точку.

Эти два положения составляют основу алгоритма подъема, эквивалентного симплексному методу линейного программирования. Алгоритм подъема состоит в многократном нахождении наилучших аппроксимаций на множествах  точек. В каждом следующем приближении очередное множество  точек выбирается так, чтобы ошибка Чебышева была на нем больше, чем на множестве предыдущего приближения. Согласно второму из высказанных выше положений когда эта норма достигнет своего максимального значения на множестве  точек, будет найдено наилучшее приближение Чебышева в области . На этом аппроксимация заканчивается. С деталями алгоритма подъема и доказательством его сходимости можно познакомиться в ряде работ, посвященных теории аппроксимации, например [9, 12].

Алгоритм подъема требует выполнения большого числа итераций, причем на каждой итерации необходимо вычислять функцию ошибки по всей области . Это приводит к огромным затратам машинного времени. Алгоритмы Кэмпа и Тирана [10], а также Херси и Мерсеро [11], разработанные специально для проектирования КИХ-фильтров. обеспечивают более быструю сходимость (на порядок величины). В алгоритме Кэмпа и Тирана изменены некоторые внутренние детали алгоритма подъема, а именно способ обработки информации об ошибках. В алгоритме Херси и Мерсеро вводится промежуточная редкая сетка частотных отсчетов , содержащая больше чем  отсчетов, но значительно меньше чем . Алгоритм подъема позволяет достаточно быстро найти наилучшее приближение на сетке , которая периодически модифицируется. Детали алгоритма описаны в [11]. Здесь мы больше не будем касаться внутренних деталей этих алгоритмов.

Синтез фильтра с минимизацией -нормы в пределе (при ) дает фильтр с равновеликими пульсациями. Лодж и Фахми [13] использовали этот подход для получения весьма хороших аппроксимаций фильтров с равновеликими пульсациями. Их алгоритм, использующий для минимизации ошибки метод параллельных касательных, значительно эффективнее описанных выше алгоритмов синтеза «истинно» равновеликих пульсаций и может с успехом использоваться для синтеза фильтров при большом значении .