1.5.3. Другое определение преобразования Фурье для дискретных сигналов

Имея дело с дискретными сигналами и системами, мы обычно используем определение преобразования Фурье

,

которое было рассмотрено в разд. 1.3. Если нас интересует взаимосвязь между непрерывными сигналами и получаемыми в результате их дискретизации дискретными сигналами, то иногда удобнее использовать другую форму преобразования Фурье, которое получается при подстановке :

.                     (1.165)

Выражение для обратного преобразования можно получить следующим образом:

                     (1.166)

Область , по которой вычисляется интеграл, получается при отображении квадратной области ,  на плоскость  при замене переменных .

Функция  периодична и характеризуется матрицей периодичности , причем, как и ранее,

.

Это легко показать, записав

.   (1.167)

Поскольку  и  - целочисленные векторы, второй экспоненциальный сомножитель всегда равен 1, поэтому

.                                          (1.168)

В силу отмеченной периодичности интеграл в выражении (1.166) можно с равным успехом вычислить по любой области в плоскости , которая включает точно один период .

Из-за тесной связи  и  свойства  отражаются в свойствах . Ниже для примера приводится список некоторых из этих свойств. Их доказательство предоставляется читателю.

Линейность. Если

                   и          ,

то для любых комплексных констант  и  справедливо соотношение

.

Свойство сдвига. .

Теорема о свертке. .

Теорема Парсеваля. .

Упражнения

1.1.а) Найдите матрицу периодичности, описывающую периодичность решетки, показанной на рис. У1.1.

Рис. У1.1.

б) Найдите для того же множества вторую матрицу периодичности.

в) Покажите, что абсолютные значения определителей этих матриц равны.

1.2. Для каждой из описанных ниже систем определите, является ли система 1) линейной и 2) инвариантной к сдвигу.

а) ;

б) ;

в) .

1.3. Рассмотрите последовательность , заданную следующим образом:

Вычислите свертку последовательности с собою.

1.4. Используя дискретную свертку докажите, что операция свертки

а) коммутативна, т. е. ;

б) ассоциативна, т. е. ;

в) дистрибутивна, т. е. .

1.5. Пусть  и  - две последовательности конечной протяженности, показанные на рис. 1.14. Считая, что значения последовательностей равны 1 в опорных областях и 0 вне этих областей, вычислите свертку  с . Форма опорной области для этой свертки определена в разд. 1.2.4.

1.6.а) Вычислите свертку последовательности  с последовательностью

.

б) Вычислите свертку последовательности  (п. «а») с последовательностью, показанной на рис. У1.6 (черные кружки представляют отсчеты со значением 1, точки - со значением 0). (Указание: используйте результат п. «а»).

Рис. У1.6.

1.7. В этой главе было показано, что произвольную двумерную последовательность можно представить в виде линейной комбинации сдвинутых импульсных последовательностей. Используя такое представление, мы затем показали, что выходной сигнал линейной системы, инвариантной к сдвигу, можно представить в виде той же линейной комбинации импульсных откликов системы. Аналогичный результат получается и при использовании ступенчатых откликов.

а) Рассмотрите произвольную последовательность . Покажите, что  можно представить в виде бесконечной линейной комбинации двумерных ступенчатых функций.

б) Предположим теперь, что  - входной сигнал линейной системы, инвариантной к сдвигу, со ступенчатым откликом . Выразите выходной сигнал системы через значения отсчетов  и .

в) Является ли операция «свертка со ступенькой» коммутативной? Другими словами, будет ли ответ на п. «б» тем же, если поменять местами последовательности  и ?

1.8. а) О последовательностях  и  известно лишь, что их опорной областью является первый квадрант, т. е.

, если  или ,

, если  или .

Покажите, что опорной областью их свертки также является этот квадрант.

б) Повторите п. «а» для случая, когда опорной областью  и  является третий квадрант, т. е. .

в) Представьте теперь, что  и  - последовательности, отличные от нуля в одном квадранте, но их опорные области не совпадают. Можно ли что-либо утверждать, и если можно, то что именно, об опорной области их свертки?

1.9. Рассмотрите две двумерные разделимые последовательности:

, .

а) Покажите, что свертка является разделимым сигналом.

б) Выразите свертку через , ,  и .

1.10.а) Две линейные инвариантные к сдвигу системы соединены параллельно, как показано на рис. У1.10,а. Покажите, что система в целом линейна и инвариантна к сдвигу.

Рис. У1.10.

б) Две линейные инвариантные к сдвигу системы соединены последовательно, как показано на рис. У1.10,б. Покажите, что система в целом линейна и инвариантна к сдвигу.

1.11. Докажите следующее утверждение: разделимая ЛИС-система с импульсным откликом  устойчива в том и только том случае, когда  и  являются абсолютно суммируемыми последовательностями.

1.12. Покажите, что двумерный частотный отклик периодичен, т. е. что

для любой упорядоченной пары целых чисел .

1.13.а) Покажите, что частотный отклик разделимой системы является разделимой функцией, т. е. если

, то

, где

 и

.

б) Покажите, что это свойство справедливо и для -мерной системы.

в) Выразите преобразование Фурье импульсного отклика

через  и .

1.14. Найдите импульсный отклик фильтра с частотным откликом (один период)

.

1.15. Найдите Фурье-преобразования последовательностей:

а) , ,

б) , , ,

в) , ,

где

1.16. Считая, что  - преобразование Фурье последовательности , найдите преобразование Фурье последовательности

, ,

при условии что , ,  и  - целые числа.

1.17. На рис. У1.17 изображены опорные области некоторых последовательностей. Считая, что отсчеты последовательностей, отмеченные кружками, имеют значение 1, а отмеченные точками - 0, укажите, для каких последовательностей соблюдаются условия:

а)  состоит из вещественных значений;

б) ;

в) .

Рис. У1.7.

1.18. Пусть

.

Используя преобразование Фурье последовательностей  и , покажите, что

.

1.19.а) Если  представляют собой пару функций, связанных преобразованием Фурье, как выглядит преобразование Фурье функции , где  и  - целочисленные константы?

б) Докажите теорему Парсеваля

.               (У1.19)

в) Как изменится правая часть равенства (У1.19), если

?

1.20. Пусть  - импульсный отклик, соответствующий идеальному сферическому фильтру нижних частот, для которого один период, частотного отклика

Определите значение , если .

1.21.а) Рассмотрите последовательность  вида

.

Изобразите эту последовательность графически. Отметьте на рисунке значения параметров  и .

б) Найдите и изобразите Фурье-преобразование этой последовательности.

в) Теперь рассмотрите двумерный цифровой ЛИС-фильтр, частотный отклик которого показан на рис. У1.21, а (заштрихованная область соответствует значению 1, светлая - значению 0). Входным сигналом системы является дискретизованное изображение, представляющее собой сплошной белый фон (значение отсчетов равно 0) с несколькими черными линиями (значения отсчетов равно 1), как показано на рис. У1.21,б. Изобразите выходной сигнал. (Указание: рассмотрите преобразование Фурье фигуры на рис. У1.21,б.)

Рис. У1.21.

1.22. Рассмотрите аналоговый сигнал с ограниченным спектром. Пусть его преобразование Фурье имеет ненулевое значение в заштрихованной области рис. У1.22.

Рис. У1.22.

а) Для случая прямоугольной дискретизации найдите минимальную плотность отсчетов (в числе отсчетов на 1 м2), допускающую точную реконструкцию аналогового сигнала.

б) Выполните п. «а» для случая гексагональной дискретизации.

в) Минимальная плотность отсчетов (при любых способах дискретизации) составляет 12 отсчетов на 1 м2. Изобразите растр отсчетов, соответствующий этому оптимальному случаю.

1.23. Аналоговый сигнал с ограниченным спектром характеризуется преобразованием Фурье с опорными областями, показанными на рис. У1.23. Для каждой области найдите минимальную плотность отсчетов (в числе отсчетов на 1 м2), допускающую точную реконструкцию аналогового сигнала. Изобразите также оптимальные растры отсчетов.

Рис. У1.23.

1.24. Найдите свертку гексагонально дискретизованного сигнала, изображенного на рис. У1.24, с самим собой.

Рис. У1.24.

1.25. Найдите импульсный отклик идеального гексагонального фильтра нижних частот, определяемого следующим образом:

где  - область Фурье-плоскости, представленная на рис. У1.25.

Рис. У1.25.

1.26. Обобщением класса линейных систем служит билинейная система (рис. У1.26). Хотя в таких системах действуют одномерные входные и выходные сигналы, эти системы весьма напоминают двумерные. Выходной сигнал билинейной системы можно выразить следующим образом:

.

Рис. У1.26.

Найдите отклик билинейной системы на входной сигнал

,

считая, что система характеризуется двумерным преобразованием Фурье-отклика , обозначенным через .