7.1. Итерационное восстановление сигналов с наложением ограничений

Можно попытаться решить уравнение (7.1) для , отыскивая такой обратный оператор , что

.             (7.2)

Однако во многих практически важных случаях отыскать и реализовать такой оператор бывает трудно или вообще невозможно. В других случаях нередко бывает, что мы знаем оператор  только приближенно, и обратный оператор, основанный на неточном знании , может оказаться совершенно неудовлетворительным. Даже если удается построить аппроксимацию и реализовать оператор , то результат действия его на сигнал  может привести к большим погрешностям, если сигнал  известен неточно из-за ошибок измерения или шумов квантования.

По этой причине интересно рассмотреть методы, альтернативные поиску обратного оператора для восстановления сигнала. Одним из альтернативных методов, особенно привлекательных при реализации на ЭВМ, является метод последовательных приближений. Он основывается на итерационном уравнении вида

,                      (7.3)

где  - соответствующим образом подобранный оператор. Однако вовсе не требуется, чтобы оператор  зависел только от . В некоторых случаях ограниченную априорную информацию о свойствах сигнала  в процесс итерации можно вовлечь в форме ограничений, накладываемых на сигнал. Обычно оператор не является единственным; для данного искажающего оператора и для данного набора ограничений можно вывести много различных итерационных уравнений.

Удобным способом использования априорных знаний или известных ограничений, связанных с сигналом , является введение такого оператора ограничений , что

                  (7.4)

тогда и только тогда, когда  удовлетворяет ограничениям. Например, если известно, что  - неотрицательный сигнал, оператор  можно определить с помощью оператора положительности

.

Оператор ограничений должен иметь свойство не менять сигналы, удовлетворяющие заданным ограничениям, и превращает в таковые сигналы, не удовлетворяющие ограничениям.

Используя оператор ограничений, можно записать уравнение (7.1) в следующем виде:

.                                                                         (7.5)

Подставив (7.4) в (7.5), получим

,                        (7.6)

где  может быть константой, функцией  или функцией . Применение метода последовательных приближений приводит к итерационным соотношениям вида

,

.                                  (7.7)

Параметр  можно выбрать таким образом, чтобы обеспечить сходимость и увеличить ее скорость. Свойства сходимости и единственности конечного результата такой итерационной процедуры - основная проблема в большинстве практических приложений. Эти вопросы более детально рассмотрены в работе [1].

Сигнал , получающийся в результате решения уравнения (7.7), называется фиксированной точкой итерации. Если существует сигнал , удовлетворяющий выражениям (7.1) и (7.4), то он будет фиксированной точкой итерации (7.7).