Главная > Цифровая обработка многомерных сигналов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.5.2. Алгоритм простых множителей Гуда для разбиения одномерного ДПФ [9, 10]

Выше был показан один способ приведения модифицированного -мерного ДПФ к одномерному. То, что ДПФ в некотором смысле не зависит от размерности, можно показать и другим способом, рассмотрев метод Гуда [9] для факторизации одномерного ДПФ. Рассмотрим ДПФ -точечного сигнала

,                                                        (2.157)

где  можно выразить произведением взаимно простых целочисленных множителей . Согласно китайской теореме об остатках из теории чисел, любое целое число, лежащее в диапазоне , можно единственным способом представить упорядоченным множеством из  чисел , где

, .                                           (2.158)

(Вспомним, что двойные скобки означают, что  взято по модулю .) Целое число  можно выразить посредством остатков, полученных в результате его деления на каждый из сомножителей . Аналогичным образом частотный индекс  можно также представить упорядоченным набором из  чисел , где . Выражая целочисленные переменные  и  этим способом, мы переводим их из одномерного пространства в -мерное.

Эти -мерные представления обратимы. Один из способов вывести формулу обращения состоит в том, чтобы постулировать существование множества «синтезирующих» чисел , таких что

                                (2.159)

Если числа с таким особым свойством существуют, можно сразу же показать, что величина  находится из его -мерного упорядоченного представления  по формуле

.                                                    (2.160)

Из теории чисел следует, что числа  действительно существуют и их можно выразить следующим образом:

,                                                                   (2.161)

где  - функция Эйлера, равная количеству целых чисел в множестве , не имеющих с  общих множителей. Например, , , , а . В общем случае , если  - простое число. Для  мы получили бы

,               ,

,      .

Очевидно, что  могут быть весьма большими. Однако на практике эти числа можно заменить остатками их деления на , что дает меньшие значения:

,                      ,

,              .

Продолжая наш пример, можно видеть, что число  представимо множеством  и восстановимо следующим образом:

.

Не будем углубляться слишком далеко и применим теперь эти идеи к первоначальной задаче представления одномерного ДПФ как -мерного. Начнем с выражения

.                                                                   (2.162)

Используя -разрядное упорядоченное представление для  и  при определении -мерных множеств, соответствующих входу и выходу, получим

.                     (2.163)

Однако поскольку , то показатель степени в (2.163) можно найти, записав

.            (2.164)

Так как по определению  произведение  - целое число, кратное  при , то член  можно записать в виде

,                                     (2.165)

где  определяется из

.                                                               (2.166)

Тогда (2.163) записывается следующим образом:

.

Если обозначить

, то получим                                     (2.167)

.                      (2.168)

Поскольку  и  взаимно простые для каждого , а  принимает все значения в диапазоне от 0 до , то  также принимает все значения в этом диапазоне, и последовательность  - это просто переиндексированная последовательность .

Для нашего примера значения  составляют:

;               ,                                     

;                   ,                        

;                ,            

;              ..          

В итоге для преобразования 210-точечного одномерного ДПФ в -точечное четырехмерное ДПФ необходимо выполнить следующую последовательность шагов:

1. Найти  .

2. Найти  .

3. Использовать  для вычисления индексов  из одномерных индексов

.

Например:

,

,

.

Это переводит  в .

1. Выполнить четырехмерное ДПФ  для получения .

2. Перевести  в  согласно формуле

.

Так например,

,

.

Упражнения

2.1. Проверить, что коэффициенты ряда Фурье , определенные согласно (2.4), при подстановке в формулу (2.3) дают последовательность .

2.2. Пусть  - прямоугольно-периодическая последовательность с матрицей периодичности  и коэффициентами дискретного ряда Фурье . Найти коэффициенты ряда Фурье для следующих последовательностей:

а) , , ;

б)  (принимая во внимание, что );

в) ;

г) .

2.3. Предположим, что  - прямоугольно-периодическая последовательность, как в упр. 2.2. Последовательность  является в таком случае одномерной периодической последовательностью.

а) Чему равен период последовательности ? Зависит ли ответ от наличия каких-либо простых сомножителей, общих для  и ?

б) Если  и  - взаимно простые, а коэффициенты ряда Фурье двумерной последовательности равны , найти коэффициенты ряда Фурье для .

2.4. Найти коэффициенты ряда Фурье для последовательностей, изображенных на рис. У2.4.

136.jpg

Рис. У2.4.

2.5. Вычислить дискретное преобразование Фурье следующих последовательностей:

а) , 4

б) , ;

в) , .

[принимая во внимание, что  известна].

2.6. Преобразование Фурье сигнала  подвергается дискретизации в точках

 при , .

Затем выполняется обратное ДПФ этих отсчетов. Определить результирующий пространственный сигнал.

2.7. Доказать, что ДПФ обладает следующими свойствами:

а)      ;

б)      ;

в)      .

2.8.

а)      Вычислить цилиндрическую свертку двух последовательностей

, , ,

, , .

б)      Вычислить линейную свертку этих последовательностей.

в)      Повторить пп. «а» и «б», заменяя  на  и принимая .

2.9.

а)      Две двумерные последовательности, каждая размером  точек, циклически сворачиваются с использованием -точечного двумерного ДПФ. Какие отсчеты -точечного выходного множества идентичны отсчетам линейной свертки двух входных множеств и какие отличны от них?

б)      Повторить п. «а», взяв одну из входных последовательностей размером  точек, а другую - размером  точек.

2.10. Рассмотрим последовательность , , .

а)      Рассчитать ДПФ, вычислив вначале одномерное ДПФ по каждой строке . Затем вычислить одномерное ДПФ по каждому столбцу полученного массива.

б)      Повторить процедуру, начав вычисления со столбцов. Проверить, что получился тот же результат.

2.11. Показать, что «бабочку» по векторному основанию , показанную на рис. 2.4, можно вычислить путем только трех комплексных умножений и восьми комплексных сложений. Изобразить более детальный граф, на котором в явном виде указать эти сложения. (Указание: «бабочка» в действительности является -точечным ДПФ. Рассмотреть разбиение по строкам и столбцам.)

2.12.

а)      Изобразить в общем виде «бабочку» по векторному основанию .

б)      Чему равно минимальное количество комплексных сложений и комплексных умножений, которые необходимо выполнить для вычисления всех восьми выходов «бабочки»?

2.13.

а)      Сколько комплексных умножений и комплексных сложений необходимо для вычисления -мерного ДПФ строка-столбец, если используется одномерное БПФ по основанию 4 (входной размер равен , где  является степенью 4)?

б)      Сколько комплексных умножений и сложений необходимо для выполнения по основанию  -мерного БПФ по векторному основанию? (Приняв, что  - вход, где  - степень числа 4.)

* 2.14. Записать на Фортране или другом языке высокого уровня программу, реализующую двумерный алгоритм БПФ по основанию . Принять, что входной массив записывается в оперативную память и что преобразование необходимо получить в той же области памяти, что и исходные данные.

2.15.

а)      Мы хотим выполнить двумерное -точечное БПФ с разбиением по строкам и столбцам, где . Принимая, что в оперативную память можно занести по крайней мере  строк данных, обобщить процедуру транспонирования Эклунда.

б)      Проверить работоспособность вашей процедуры на множестве

2.16.      Определить матрицу периодичности, описывающую периодичность множества, показанного на рис. У2.16.

138.jpg

Рис. У2.16.

2.17. Сигнал  с конечной опорной областью можно точно восстановить из ДПФ, взятого по матрице периодичности

.

а)      Определить верхний предел числа ненулевых отсчетов .

б)      Определить ДПФ , если

, , .

2.18. Если сигнал является разделимым в том смысле, что , можно ли что-нибудь сказать о разделимости его ДПФ, взятого по произвольной матрице периодичности

?

2.19. Последовательность  имеет конечную опорную область, заключенную в пределах , . Она обладает ДПФ , определенным по матрице периодичности

.

ДПФ заключено в области ,  и выполняется с помощью двухступенчатого БПФ и использованием разложения на множители , где

, .

Изобразить граф для этого алгоритма БПФ.

2.20. Предположим, что мы хотим вычислить ДПФ  последовательности  по матрице периодичности . Пусть  можно выразить в виде произведения

,

где  - диагональная матрица, , .

Показать, что ДПФ можно выполнить за следующие три шага:

1)      перестановка элементов входной последовательности в соответствии с условием ;

2)      вычисление ДПФ последовательности  по строкам и столбцам [назвать результаты вычисления ];

3)      перестановка элементов последовательности  для получения  в соответствии с условием  (Замечание: подобное разложение существует для любой целочисленной матрицы . Таким образом, этим устанавливается алгоритм с разбиением по строкам и столбцам для любой матрицы периодичности.)

2.21. Рассмотрим следующий алгоритм двумерной линейной свертки. Предположим, что необходимо свернуть две последовательности  и . Пусть  содержит  точек, а  -  точек.

1)      Определим

2)      Определим

.

3)      Построим из  и  одномерную последовательность, присоединяя их друг к другу; другими словами, определим

,

,

где .

4)      Выполним одномерную свертку  и

.

5)      Определим  соотношением

.

6)      Утверждается, что результат является двумерной сверткой  и .

а)      Используя этот алгоритм, свернуть две последовательности

,              

и сравнить ответ с двумерной сверткой, полученной более обычным путем.

б)      Провести сравнение преобразования Фурье для  с двумерным преобразованием Фурье .

в)      Показать, что этот метод применим во всех случаях, когда  достаточно велико. (Это доказательство легче провести для частотной области.) Насколько большим должно быть ?

г)      Объяснить, как можно выполнить этот расчет, используя одномерное ДПФ с предложенным алгоритмом.

2.22. Нам необходимо вычислить одномерное ДПФ двадцатиточечной последовательности , используя алгоритм разложения на простые сомножители Гуда. Это сделано отображением исходной последовательности в двумерное -точечное множество , вычислением ДПФ  этого множества и отображением его в одномерное ДПФ .

а)      Определить двумерную последовательность  через отсчеты . Использовать , .

б)      Определить одномерное множество  через отсчеты .

 

 

1
Оглавление
email@scask.ru