2.5.2. Алгоритм простых множителей Гуда для разбиения одномерного ДПФ [9, 10]

Выше был показан один способ приведения модифицированного -мерного ДПФ к одномерному. То, что ДПФ в некотором смысле не зависит от размерности, можно показать и другим способом, рассмотрев метод Гуда [9] для факторизации одномерного ДПФ. Рассмотрим ДПФ -точечного сигнала

,                                                        (2.157)

где  можно выразить произведением взаимно простых целочисленных множителей . Согласно китайской теореме об остатках из теории чисел, любое целое число, лежащее в диапазоне , можно единственным способом представить упорядоченным множеством из  чисел , где

, .                                           (2.158)

(Вспомним, что двойные скобки означают, что  взято по модулю .) Целое число  можно выразить посредством остатков, полученных в результате его деления на каждый из сомножителей . Аналогичным образом частотный индекс  можно также представить упорядоченным набором из  чисел , где . Выражая целочисленные переменные  и  этим способом, мы переводим их из одномерного пространства в -мерное.

Эти -мерные представления обратимы. Один из способов вывести формулу обращения состоит в том, чтобы постулировать существование множества «синтезирующих» чисел , таких что

                                (2.159)

Если числа с таким особым свойством существуют, можно сразу же показать, что величина  находится из его -мерного упорядоченного представления  по формуле

.                                                    (2.160)

Из теории чисел следует, что числа  действительно существуют и их можно выразить следующим образом:

,                                                                   (2.161)

где  - функция Эйлера, равная количеству целых чисел в множестве , не имеющих с  общих множителей. Например, , , , а . В общем случае , если  - простое число. Для  мы получили бы

,               ,

,      .

Очевидно, что  могут быть весьма большими. Однако на практике эти числа можно заменить остатками их деления на , что дает меньшие значения:

,                      ,

,              .

Продолжая наш пример, можно видеть, что число  представимо множеством  и восстановимо следующим образом:

.

Не будем углубляться слишком далеко и применим теперь эти идеи к первоначальной задаче представления одномерного ДПФ как -мерного. Начнем с выражения

.                                                                   (2.162)

Используя -разрядное упорядоченное представление для  и  при определении -мерных множеств, соответствующих входу и выходу, получим

.                     (2.163)

Однако поскольку , то показатель степени в (2.163) можно найти, записав

.            (2.164)

Так как по определению  произведение  - целое число, кратное  при , то член  можно записать в виде

,                                     (2.165)

где  определяется из

.                                                               (2.166)

Тогда (2.163) записывается следующим образом:

.

Если обозначить

, то получим                                     (2.167)

.                      (2.168)

Поскольку  и  взаимно простые для каждого , а  принимает все значения в диапазоне от 0 до , то  также принимает все значения в этом диапазоне, и последовательность  - это просто переиндексированная последовательность .

Для нашего примера значения  составляют:

;               ,                                     

;                   ,                        

;                ,            

;              ..          

В итоге для преобразования 210-точечного одномерного ДПФ в -точечное четырехмерное ДПФ необходимо выполнить следующую последовательность шагов:

1. Найти  .

2. Найти  .

3. Использовать  для вычисления индексов  из одномерных индексов

.

Например:

,

,

.

Это переводит  в .

1. Выполнить четырехмерное ДПФ  для получения .

2. Перевести  в  согласно формуле

.

Так например,

,

.

Упражнения

2.1. Проверить, что коэффициенты ряда Фурье , определенные согласно (2.4), при подстановке в формулу (2.3) дают последовательность .

2.2. Пусть  - прямоугольно-периодическая последовательность с матрицей периодичности  и коэффициентами дискретного ряда Фурье . Найти коэффициенты ряда Фурье для следующих последовательностей:

а) , , ;

б)  (принимая во внимание, что );

в) ;

г) .

2.3. Предположим, что  - прямоугольно-периодическая последовательность, как в упр. 2.2. Последовательность  является в таком случае одномерной периодической последовательностью.

а) Чему равен период последовательности ? Зависит ли ответ от наличия каких-либо простых сомножителей, общих для  и ?

б) Если  и  - взаимно простые, а коэффициенты ряда Фурье двумерной последовательности равны , найти коэффициенты ряда Фурье для .

2.4. Найти коэффициенты ряда Фурье для последовательностей, изображенных на рис. У2.4.

Рис. У2.4.

2.5. Вычислить дискретное преобразование Фурье следующих последовательностей:

а) , 4

б) , ;

в) , .

[принимая во внимание, что  известна].

2.6. Преобразование Фурье сигнала  подвергается дискретизации в точках

 при , .

Затем выполняется обратное ДПФ этих отсчетов. Определить результирующий пространственный сигнал.

2.7. Доказать, что ДПФ обладает следующими свойствами:

а)      ;

б)      ;

в)      .

2.8.

а)      Вычислить цилиндрическую свертку двух последовательностей

, , ,

, , .

б)      Вычислить линейную свертку этих последовательностей.

в)      Повторить пп. «а» и «б», заменяя  на  и принимая .

2.9.

а)      Две двумерные последовательности, каждая размером  точек, циклически сворачиваются с использованием -точечного двумерного ДПФ. Какие отсчеты -точечного выходного множества идентичны отсчетам линейной свертки двух входных множеств и какие отличны от них?

б)      Повторить п. «а», взяв одну из входных последовательностей размером  точек, а другую - размером  точек.

2.10. Рассмотрим последовательность , , .

а)      Рассчитать ДПФ, вычислив вначале одномерное ДПФ по каждой строке . Затем вычислить одномерное ДПФ по каждому столбцу полученного массива.

б)      Повторить процедуру, начав вычисления со столбцов. Проверить, что получился тот же результат.

2.11. Показать, что «бабочку» по векторному основанию , показанную на рис. 2.4, можно вычислить путем только трех комплексных умножений и восьми комплексных сложений. Изобразить более детальный граф, на котором в явном виде указать эти сложения. (Указание: «бабочка» в действительности является -точечным ДПФ. Рассмотреть разбиение по строкам и столбцам.)

2.12.

а)      Изобразить в общем виде «бабочку» по векторному основанию .

б)      Чему равно минимальное количество комплексных сложений и комплексных умножений, которые необходимо выполнить для вычисления всех восьми выходов «бабочки»?

2.13.

а)      Сколько комплексных умножений и комплексных сложений необходимо для вычисления -мерного ДПФ строка-столбец, если используется одномерное БПФ по основанию 4 (входной размер равен , где  является степенью 4)?

б)      Сколько комплексных умножений и сложений необходимо для выполнения по основанию  -мерного БПФ по векторному основанию? (Приняв, что  - вход, где  - степень числа 4.)

* 2.14. Записать на Фортране или другом языке высокого уровня программу, реализующую двумерный алгоритм БПФ по основанию . Принять, что входной массив записывается в оперативную память и что преобразование необходимо получить в той же области памяти, что и исходные данные.

2.15.

а)      Мы хотим выполнить двумерное -точечное БПФ с разбиением по строкам и столбцам, где . Принимая, что в оперативную память можно занести по крайней мере  строк данных, обобщить процедуру транспонирования Эклунда.

б)      Проверить работоспособность вашей процедуры на множестве

2.16.      Определить матрицу периодичности, описывающую периодичность множества, показанного на рис. У2.16.

Рис. У2.16.

2.17. Сигнал  с конечной опорной областью можно точно восстановить из ДПФ, взятого по матрице периодичности

.

а)      Определить верхний предел числа ненулевых отсчетов .

б)      Определить ДПФ , если

, , .

2.18. Если сигнал является разделимым в том смысле, что , можно ли что-нибудь сказать о разделимости его ДПФ, взятого по произвольной матрице периодичности

?

2.19. Последовательность  имеет конечную опорную область, заключенную в пределах , . Она обладает ДПФ , определенным по матрице периодичности

.

ДПФ заключено в области ,  и выполняется с помощью двухступенчатого БПФ и использованием разложения на множители , где

, .

Изобразить граф для этого алгоритма БПФ.

2.20. Предположим, что мы хотим вычислить ДПФ  последовательности  по матрице периодичности . Пусть  можно выразить в виде произведения

,

где  - диагональная матрица, , .

Показать, что ДПФ можно выполнить за следующие три шага:

1)      перестановка элементов входной последовательности в соответствии с условием ;

2)      вычисление ДПФ последовательности  по строкам и столбцам [назвать результаты вычисления ];

3)      перестановка элементов последовательности  для получения  в соответствии с условием  (Замечание: подобное разложение существует для любой целочисленной матрицы . Таким образом, этим устанавливается алгоритм с разбиением по строкам и столбцам для любой матрицы периодичности.)

2.21. Рассмотрим следующий алгоритм двумерной линейной свертки. Предположим, что необходимо свернуть две последовательности  и . Пусть  содержит  точек, а  -  точек.

1)      Определим

2)      Определим

.

3)      Построим из  и  одномерную последовательность, присоединяя их друг к другу; другими словами, определим

,

,

где .

4)      Выполним одномерную свертку  и

.

5)      Определим  соотношением

.

6)      Утверждается, что результат является двумерной сверткой  и .

а)      Используя этот алгоритм, свернуть две последовательности

,              

и сравнить ответ с двумерной сверткой, полученной более обычным путем.

б)      Провести сравнение преобразования Фурье для  с двумерным преобразованием Фурье .

в)      Показать, что этот метод применим во всех случаях, когда  достаточно велико. (Это доказательство легче провести для частотной области.) Насколько большим должно быть ?

г)      Объяснить, как можно выполнить этот расчет, используя одномерное ДПФ с предложенным алгоритмом.

2.22. Нам необходимо вычислить одномерное ДПФ двадцатиточечной последовательности , используя алгоритм разложения на простые сомножители Гуда. Это сделано отображением исходной последовательности в двумерное -точечное множество , вычислением ДПФ  этого множества и отображением его в одномерное ДПФ .

а)      Определить двумерную последовательность  через отсчеты . Использовать , .

б)      Определить одномерное множество  через отсчеты .