§ 2. Вектор-функция

Вектор-функция

Если модуль и направление вектора а зависят от значений, которые принимает какой-либо параметр t, то вектор а носит название векторной функции этого переменного t, или короче, является вектор-функцией и записывается в виде:

или через проекции

Если вектор-функция представляет собой сложную функцию времени:

где и проекции этого вектора представляют собой соответствующие частные производные от некоторой функции и, зависящей от

то а записывается в виде

и называется градиентом .

Годограф вектор-функции

Отложим из какой-либо точки пространства вектор-функцию, соответствующий всевозможным значениям параметра t. Тогда геометрическое место концов построенных векторов будет кривая, которая носит название годографа вектора а. Если вектор-функция не меняет своего направления при изменении параметра t, то годографом служит прямая.

Если откладывать вектор-функцию из начала координат, то соотношения:

представляют уравнение годографа в параметрической форме.

Производная от вектор-функции по скалярному аргументу

Возьмем два значения вектор-функции соответствующие значению параметра t

Вектор , равный разности называется приращением вектора а, соответствующим приращению независимой переменной или параметру.

Рассмотрим предел отношения приращения вектор-функции к приращению независимой переменной при стремлении последней

к нулю. Если этот предел существует, то он называется производной вектора а по переменной t и обозначается

Соответственно, дифференциалом вектора а называется произведение производной на дифференциал независимой переменной

Если вектор а постоянен по модулю и направлению, то производная равна нулю. Так как производная от вектор-функции вводится так же, как производная от скалярной функции, то на вектор-функцию распространяется целый ряд правил формального дифференцирования. В частности, справедливы следующие формулы:

Формула Тейлора для вектор-функции будет иметь вид:

где через обозначаются соответственно первая, вторая и т. д. производные по t от функций

Производная от вектора постоянной длины

Пусть вектор а не изменяет своего модуля при изменении параметра t. Найдем приращение :

и обозначим через угол между векторами (рис. 16). Так как а вектор постоянной длины, то треугольник (рис. 16) равнобедренный. При стремящемся к нулю, стремится к нулю, вектор в пределе будет перпендикулярен вектору а:

если а есть вектор неизменного модуля.

Рис. 16

Из треугольника следует, что модуль можно определить по формуле:

Откуда

Обозначим

Тогда производная от вектора постоянной длины по величине равна мопулю вектора а, умноженному на со. Обозначая через единичный вектор, перепендикулярный а, имеем:

Рис. 17

Введем вектор по модулю, равный направленный перпендикулярно плоскости, образованной векторами а и так, чтобы, глядя с его конца, вектора стремился повернуться против часовой стрелки (рис. 17). Через вектор (о производная от вектора постоянной длины может быть записана в виде следующего векторного произведения:

Заметим, что вектор характеризует поворот вектора а, происходящий с течением времени.

Интеграл от вектора по скалярному аргументу

Если вектор b равен производной от вектора а:

то вектор а называется неопределенным интегралом от вектора что обозначается в виде:

Неопределенный интеграл определяется с точностью до некоторой аддитивной векторной произвольной постоянной.

Определенным интегралом в пределах от до t называется разность соответствующих значений неопределенного интеграла:

Векторы скользящие и приложенные

В заключение введения отметим, что в различных вопросах механики приходится иметь дело, помимо свободных векторов, с векторами скользящими и приложенными.

Скользящим вектором называется вектор, лежащий как угодно на заданной прямой, расположение которой совпадает с направлением вектора и которая называется линией действия вектора.

Вектор называется приложенным или неподвижным, если он характеризуется длиной, направлением и точкой своего начала.

Операции, сформулированные для свободных векторов, в тех или иных случаях применимы и для скользящих и приложенных векторов. Например, эти операции применимы, если два скользящих вектора имеют пересекающиеся линии действия или два неподвижных вектора приложены в одной точке.