§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций, интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:

Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что многочлены не имеют общих корней.

Если стецень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

здесь многочлен, а — правильная дробь.

Пример t. Пусть дана неправильная рациональная дробь

Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим

Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Далее будет доказано (см. § 8), что всякую рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Поэтому мы рассмотрим сначала интегралы от простейших дробей.

Интегрирование простейших дробей типа I, II и III не составляет большой трудности, поэтому мы проведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:

Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей IV типа. Пусть нам дан интеграл такого типа:

Произведем преобразования:

Первый интеграл берется подстановкой

Второй интеграл — обозначим его через запишем в виде

полагая

по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, Далее поступаем следующим образом:

Преобразуем интеграл:

Интегрируя по частям, будем иметь

Подставляя это выражение в равенство (1), получим

В правой части содержится интеграл того же типа, что но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ; таким образом, мы выразили через . Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:

Подставляя затем всюду вместо их значения, получим выражение интеграла IV через и заданные числа

Пример 2.

К последнему интегралу применяем подстановку

Рассмотрим последний интеграл:

(произвольной постоянной пока не пишем: мы учтем ее только в окончательном результате).

Следовательно,

Окончательно будем иметь