§ 5. Примеры законов распределения случайных величин

Одной из основных задач статистики является нахождение функций распределения случайных величин, которые иногда можно предсказать на основании тех или иных общих соображений.

Приведем примеры некоторых таких заранее (apriory) известных распределений.

Равномерное распределение дискретной величины. Если вероятность любых значений случайной величины одна и та же, то мы имеем дело с законом равномерного распределения. В этом случае мы можем сразу определить вероятность отдельного значения:

число всех возможных значений случайной величины). Это равенство эквивалентно условию нормировки.

В приведенном примере с игральной костью случайная величина, соответствующая числу выпадающих очков, имела равную вероятность принять любое целое значение от 1 до 6. Поэтому вероятность одного какого-то значения мы могли сразу определить как , так как всего возможных значений было 6.

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина принимающая значения из бесконечного ряда целых чисел от нуля до бесконечности, может подчиняться также закону распределения Пуассона. Этот закон записывается в виде:

где — некоторая постоянная, имеющая смысл среднего значения случайной величины при данном распределении

Закону Пуассона, например, удовлетворяет число молекул в данном объеме газа или количество испаряющихся частиц за определенный промежуток времени и др.

Равномерное распределение непрерывной величины. Самой простой из функций распределения является равномерное распределение значений случайной величины в некотором интервале значений от а до Равномерное распределение встречается при рассмотрении, например, плотности, энергии, направлений и др.

Рис. 2. График равномерной функции распределения

Вид такого распределения в случае одной случайной величины изображен на графике (рис. 2). Но его можно также представить и аналитически:

Эту функцию распределения еще нужно пронормировать:

откуда найдем значение постоянной. Функция равномерного распределения в нормированном виде будет записываться так:

При равномерном распределении вероятность найти случайную величину в интервале от до зависит только от ширины интервала

По известным формулам для этого распределения можно найти среднее значение среднее квадратичное а также дисперсию (см. задачи 8, 9, гл. II).

Экспоненциальное распределение. В большом числе случаев приходится встречаться с так называемым экспоненциальным распределением. Такие распределения встречаются при рассмотрении радиоактивного распада, релаксационных явлений, изменения числа молекул с высотой и др.

Рис. 3. График экспоненциальной функции распределения

Экспоненциальное распределение имеет вид, изображенный на рис. 3, и аналитически записывается так:

В общем случае это распределение также представлено в ненормированном виде и его нужно пронормировать. Для этого, как и в предыдущем случае, воспользуемся условием нормировки:

откуда

Нормированное экспоненциальное распределение будет записываться уже в виде:

Коэффициент а находится из физических условий. Экспоненциальное распределение показывает, что вероятность найти случайную величину в интервале будет уменьшаться по экспоненте с ростом

Среднее значение для такого распределения оказывается равным (см. задачу 10). Поэтому это распределение записывают еще и так:

Гауссовское распределение. Очень часто встречается так называемая гауссовская функция распределения или нормальный закон. Такое распределение встречается в теории ошибок, при распределении проекций скоростей в газе, в броуновском движении и др.

Рис. 4. График гауссовской функции распределения

Эта функция имеет вид, изображенный на рис. 4, и следующую аналитическую запись:

Для нормировки гауссовской функции нужно воспользоваться значенйем интеграла Пуассона (см. Приложение). И тогда:

Нормированная гауссовская функция будет записываться так:

если

Среднее квадратичное значение для гауссовской функции совпадает с дисперсией и равно 1/2а (см. задачу 11). Тогда распределение можно записать так:

Иногда гауссовскую функцию рассматривают только для положительных значений . В этом случае:

Дельта-функция. В теоретической физике встречается еще одна специальная функция. Это так называемая -функция, обозначаемая Она определяется следующими условиями: равна нулю везде, кроме точки и нормирована на единицу. Это записывается двумя равенствами:

Геометрический вид -функции не определен. Она может представляться любой кривой, имеющей бесконечно малую

ширину и бесконечно большую высоту так, чтобы площадь ее была равна единице (рис. 5).

Эта функция дает представление о плотности вероятности для такого случая, когда величина имеет одно определенное значение Действительно, определим плотность вероятности для величины принимающей только одно значение

Рис. 5. График дельта-функции

Для любого интервала не включающего точку вероятность будет равна нулю и поэтому Для любого бесконечно малого интервала включающего точку вероятность будет равна единице и поэтому функция на этом интервале будет бесконечно большой.

Таким образом, плотность вероятности или функция распределения для величины, принимающей определенное значение запишется в виде:

Функции распределения имеют размерность, обратную размерности случайной величины, т. е.

Перечисленные функции и законы распределения наиболее часто встречаются в курсе статистической физики.

Конечно, кроме простейших функций распределения, рассмотренных нами в этом параграфе, в математйке и физике встречается много других функций и законов распределения.