§ 4. Характерные скорости максвелловского распределения

В § 2 и 3 получена функция распределения молекул идеального газа по скоростям.

Однако значение закона распределения само по себе не дает нам конкретных представлений о тех скоростях, с которыми движутся молекулы в газе.

Например, возьмем один и тот же газ при разных температурах. В обоих случаях его молекулы могут иметь скорости, изменяющиеся от и практически до а состояния газов будут, конечно, различными. Для сравнения движения молекул газа в разных случаях вводятся некоторые характерные скорости.

Из графика максвелловского распределения (см. рис. 10) видно, что число молекул приходящихся на один и тот же интервал скорости меняется в зависимости от величины самой скорости Число таких молекул пропорционально площади заштрихованных полосок с основанием Например, на один и тот же интервал скорости приходится мало молекул как со скоростями, близкими к нулю, так и с очень большими скоростями.

Но на тот же интервал приходится гораздо больше молекул с некоторыми промежуточными скоростями. Самое большое число молекул приходится на скорость, соответствующую максимуму кривой Это означает следующее. Представим себе сосуд с молекулами газа. Будем наугад брать оттуда молекулы и определять модуль их скорости. Оказывается, что наиболее часто будут встречаться молекулы со скоростями, близкими к максимуму кривой распределения. Поэтому скорость, соответствующая максимуму кривой распределения, получила название наивероятнейшей скорости.

Чтобы найти ее значение, нужно определить, при каком значении кривая проходит через максимум. Для этого продифференцируем функцию по и приравняем производную нулю:

Последнее условие выполняется в трех случаях:

Как видно из графика (а также из анализа второй производной), скорости соответствуют минимуму функции Максимуму же соответствует только значение которое и будет наивероятнейшей скоростью.

Обозначим ее Так как то

Иногда максвелловское распределение скоростей удобнее представить в приведенном виде, относя значения всех скоростей к наивероятнейшей скорости, т. е. через новую переменную Заменяя переменные, получим:

В этой форме максвелловское распределение скоростей записывается одинаково для любых газов и любых температур.

Кроме наивероятнеишей скорости, часто представляет интерес средняя передняя квадратичная скорости молекул.

Среднюю скорость максвелловского распределения найдем, пользуясь обычной формулой для среднего значения

или

Заменяя переменную на и беря интеграл, находим:

и

Действительно, поскольку все молекулы участвуют в движении и имеют какое-то абсолютное значение скорости, то существует некоторый средний модуль скорости этого хаотического движения. Проекции же скоростей имеют определенный знак. Благодаря хаотичности движения число молекул, движущихся в противоположных направлениях, оказываемся одним и тем же. Поэтому средняя проекция скорости хаотичного движения на любое направление оказывается равной нулю.

Можно сказать, что среднее значение любой нечетной степени проекции скорости обращается в нуль (интеграл от нечетной функции в симметричных пределах).

Иногда представляет интерес средняя скорость движения молекул в заданном направлении. Проекции скорости для частиц, движущихся в заданном направлении, всегда будут положительными. Поэтому

Это будет уже средняя скорость в заданном направлении. Она в 2 раза меньше среднего модуля скорости

Другой характеристикой движения является средняя квадратичная скорость. Определяя средний квадрат скорости по общей формуле, получим:

и

Первая величина определяет средний квадрат модуля скорости. Вторая же — средний квадрат проекции скорости. Понятно, что средний квадрат проекции получается одинаковым для любых направлений, т. е.

Средний квадрат модуля скорости можно выразить через средние квадраты проекций скоростей по формуле

Рис. 15. Наивероятнейшая, средняя и средняя квадратичная скорости максвеллов ского распределения

Среднюю квадратичную скорость определяют как корень квадратный из среднего квадрата скорости

т. е. средняя квадратичная скорость равна

Соответственно, можно получить и среднюю квадратичную проекцию скорости

Между различными характерными скоростями максвелловского распределения существуют следующие соотношения:

Эти значения скорости изображены на графиках (рис. 15).

Квадратичная скорость определяет кинетическую энергию газа. Действительно, кинетическая энергия газа равна

сумме кинетических энергий отдельных его молекул. Например, для плотности энергии, т. е. энергии газа, содержащего молекул, имеем:

Используя (3.24), можно выражение для давления (3.17) переписать в следующем виде:

Затем заменим через плотность кинетической энергии, получим:

Таким образом, давление идеального газа оказывается пропорциональным плотности кинетической энергии.

Интересно также рассмотреть среднюю энергию отдельной молекулы, определяемую по формуле

Подставляя значение средней квадратичной скорости получим:

Итак, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы не зависит от ее природы и пропорциональна абсолютной температуре газа Отсюда следует, что абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии молекул.