Глава XI. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ

§ 1. Квантовый осциллятор и квантовый ротатор

Важным для дальнейшего применения квантовой статистики является решение квантово-механической задачи о линейном осцилляторе. На примере решения этой задачи мы проиллюстрируем использование уравнения Шредингера для решения квантово-механических задач, а также получим ряд важных результатов.

Материальная точка, колеблющаяся под действием квазиупругой силы, называется осциллятором (см. §3, гл. V). Классическим осциллятором называется точка, колеблющаяся с частотой определяемой из соотношения:

где определяют соответственно «инерцию» и «жесткость»:

Согласно классической теории существует равномерное распределение энергии по степеням свободы, причем на среднюю кинетическую энергию одной степени свободы приходится энергия Если осциллятор линейный, то его средняя кинетическая энергия оказывается равной вредней потенциальной энергии а полная энергия равна сумме средней потенциальной и средней кинетической, равна удвоенной средней кинетической энергии, т. е.

При решении задачи об осцилляторе в квантовой механике используется уравнение Шредингера:

Записывая оператор Гамильтона через операторы кинетической и потенциальной энергии для линейного гармонического осциллятора в виде (10.5), получаем следующее уравнение Шредингера:

Удобно ввести безразмерные величины где Тогда Уравнение (11.3) приобретает наиболее простой вид:

Решением этого уравнения должна быть волновая функция, удовлетворяющая условию нормировки:

что, по существу, совпадает с условием квадратичной интегрируемости. Оказывается, что такое решение уравнения (11.4) возможно только тогда, когда параметр А, принимает целочисленные нечетные значения

Из последнего соотношения получается следующий ряд собственных значений энергии:

Таким образом, мы получили «квантовый результат»: энергия гармонического осциллятора может принимать только определенные дискретные значения. Разность между уровнями оказывается постоянной: Спектром энергии гармонического осциллятора мы будем неоднократно пользоваться в дальнейшем.

На рис. 60 представлен вид энергетических уровней квантового осциллятора. Обратим внимание на нулевой уровень энергии который также является следствием квантового рассмотрения. Нулевой энергии соответствуют так называемые нулевые колебания, которые не могут быть уничтожены, например понижением температуры. Другими словами, осциллятор в квантовой механике вследствие наличия нулевой энергии не может быть в состоянии покоя. Оказывается, что нулевая энергия колебаний наблюдается при рассеянии света кристаллом, находящимся

при температуре, близкой к абсолютному нулю. При абсолютном нуле большинство систем находится на низшем (основном) уровне энергии, но атомы при этом совершают колебания.

На том же рис. 60 представлена и классическая потенциальная энергия (парабола). В классической механике осциллятор может иметь любую энергию (на этой параболе), а в квантовой — только определенную условиями (11.5) (уровни).

Рис. 60. Уровни энергии квантового осциллятора

Кроме собственных значений энергии при решении задачи об осцилляторе удается найти и собственные функции, которые в этом случае выражаются через полиномы Эрмита — Чебышева

где

Первые три собственные волновые функции имеют вид:

Собственные функции осциллятора интересны для сравнения классических и квантовых представлений о вероятности нахождения осциллятора в той или иной точке пространства.

Найдем распределение вероятности нахождения колеблющейся частицы в определенном месте на линии колебаний. Согласно классическим представлениям осциллятор совершает гармонические колебания с энергией между точками . Поскольку колебания происходят по закону синуса то вероятность того, что осциллятор будет находиться между точками будет определяться отношением времени, за которое осциллятор проходит отрезок от до к половине периода.

Функция распределения вероятности будет в этом случае (см. задачу 14, гл. II) иметь вид:

В квантовой же механике для осциллятора получается плотность распределения в виде: т. е.

Рис. 61. Сравнение плотности вероятности для квантового и классического осцилляторов

При колебаниях с разной энергией нужно брать различные волновые функции. Для нулевого и первого состояния сравнение кривых (11.7) и (11.8) приведено на рис. 61. Мы видим, что классическое и квантовое распределения вероятностей оказываются различными. Согласно квантовым представлениям осциллятор можно найти в любых точках на прямой от до

Таким образом, квантовое решение задачи о линейном осцилляторе приводит к качественно иным результатам, чем решение классической механики.

Наряду с осциллятором в квантовой механике рассматривается и другая модель, так называемый жесткий ротатор.

Жесткий ротатор — это материальная точка, вращающаяся по окружности. В классической физике энергия вращения такой точки записывается в виде:

В квантовой механике вместо механической величины необходимо рассматривать оператор квадрата момента количества движения Оказывается (см. § 1, гл. X), что собственные значения оператора квадрата момента количества движения в квантовой механике также принимают только ряд дискретных значений:

где I — любые целочисленные значения

Эти значения квадрата момента количества движения (11.10) определяют и дискретный спектр энергии ротатора:

Таким образом, в квантовой механике вращающаяся частица также может находиться только в состояниях с определенной энергией (11.11). Но в отличие от квантового осциллятора, где каждому состоянию с энергией соответствует одна волновая функция состоянию квантового ротатора с энергией соответствует волновая функция.

Состояния ротатора оказываются вырожденными со статистическим весом

Расстояния между энергетическими уровнями для ротатора увеличиваются с ростом числа I (рис. 62):

Рис. 62. Уровни энергии квантового ротатора