Глава VIII. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ
§ 1. Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы
Пользуясь каноническим распределением Гиббса, можно подсчитать среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну степень свободы системы. Оказывается, что эта энергия одинакова для всех степеней свободы и равна 
Сначала докажем эту важную теорему для идеального газа, определив среднюю энергию 
степени свободы чере функцию распределения в пространстве импульсов по формуле
Интегрирование по всем импульсам, кроме 
можно произвести независимо и получить следующее выражение:
после интегрирования которого по 
получим:
Таким образом, средняя величина кинетической энергии, приходящейся на любую степень свободы системы, одинакова и равна 
С частным случаем этой теоремы мы уже встречались при рассмотрении средней кинетической энергии молекул газа.
Ввиду важности этой теоремы приведем более общее ее доказательство с помощью теоремы вириала. Функцию
Гамильтона любой системы с 
степенями свободы можно через функцию Лагранжа записать в следующем виде:
Отсюда 
заменяя из уравнения Гамильтона выражением 
получим:
Величину 
определим как кинетическую энергию, соответствующую 
степени свободы.
Среднее значение произведения 
найдем с помощью канонического распределения из выражения:
Сначала интегрирование по 
произведем по частям:
При подстановке пределов 
функция Гамильтона 
обращается в бесконечность, а 
в нуль, и остается только следующее выражение:
Таким образом, для средней кинетической энергии, приходящейся на одну степень свободы, получаем:
Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, таким образом, оказывается верна для любых систем, подчиняющихся классической статистике.
Интересно добавить, что для одной степени свободы колебательного движения полная энергия будет не 
Действительно, при гармонических малых колебаниях средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной. Полная же энергия колебательного движения равна сумме средней кинетической и средней потенциальной энергий. Поэтому на одну степень гармонического колебательного движения приходится энергия 
Для негармонических колебаний полная энергия будет иной, хотя средняя кинетическая энергия все равно будет 
В заключение укажем, что для системы, имеющей 
степеней свободы, полная кинетическая энергия равна:
