§ 4. Применение методов статистической физики к равновесному излучению

Абсолютно черным телом называется такое тело, которое поглощает всю падающую на него энергию в виде электромагнитных волн. Обычно в природе таких тел нет. Неправильно думать, что сажа и другие «черные» тела приближаются по свойствам к абсолютно черному телу. На самом деле «черные» для видимого света тела обычно оказываются прозрачными для электромагнитных волн, длина которых меньше или больше, чем длина видимых волн. Таким образом, абсолютно черное тело есть некоторая идеализация.

Однако можно предложить модель абсолютно черного тела. Для этого берут некоторую полость с небольшим отверстием, как показано на рис. 44. При определенной конструкции полости все электромагнитные волны, попадающие в малое отверстие , не смогут выйти обратно, а после многократного отражения будут поглощаться внутри самой полости. Значит отверстие а можно рассматривать как абсолютно

черное тело. Если стенки полости в такой модели поддерживать при постоянной температуре, то излучение внутри полости будет находиться в тепловом равновесии со стенками. Такое излучение и называется равновесным излучением: оно испускается и поглощается стенками полости. Малая часть возникшего в полости излучения, выходящая через отверстие наружу, позволяет изучать законы равновесного излучения.

Рис. 44. Полость с равновесным излучением и модель абсолютно черного тела

Рис. 45. Элемент объема в пространстве волновых чисел

Одним из основных параметров, характеризующих равновесное излучение, является распределение энергии по частотам спектра, т. е. спектральная плотность излучения Она определяется через энергию излучения в интервале частот от до по формуле

Полная энергия излучения будет равна:

При рассмотрении равновесного излучения обычно считают, что внутри полости устанавливается большое число стоячих электромапштных волн с разными частотами. Поэтому первой задачей будет определение числа стоячих волн с теми или другими частотами т. е. распределение числа волн по частоте. Эту задачу легче решить, если рассмотреть равновесное излучение (систему стоячих волн) в пространстве волновых векторов где каждая стоячая волна будет изображаться точкой (рис. 45).

Для возникновения стоячей волны на отрезке длиной волновой вектор должен удовлетворять условию:

где с — скорость волны и любое целое число.

Для установления стоячей волны внутри куба с ребром I необходимо, чтобы выполнялись соотношения:

где проекции волнового вектора соответственно на оси

Таким образом, проекция волнового вектора, например, на ось может принимать дискретные значения, отличающиеся друг от друга на постоянную величину Но вследствие того, что размеры полости можно считать во много раз большими длины волны распределение волновых векторов вдоль осей можно рассматривать как непрерывное, т. е. спектр частот излучения будет непрерывным.

Так как число волновых векторов в интервале от до не зависит от величины волнового вектора и численно равно интервалу то распределение волновых векторов в системе стоячих волн будет вдоль любого направления равномерным.

Если число всевозможных волновых векторов рассматривать в трехмерном пространстве, образованном осями то общее число волновых векторов, имеющих модуль от до будет определятся объемом шарового слоя, ограниченного радиусами

Объем этого шарового слоя численно равен числу пространственных стоячих волн в единице объема с модулем волнового вектора в интервале (рис. 46). Заменяя через получим число стоячих волн имеющих частоту от до

С учетом того, что электромагнитные волны могут быть поляризованы в двух плоскостях, это число удваивается:

Таким образом, мы нашли распределение числа электромагнитных волн по частотам в единице объема.

Рис. 46. Шаровой слой в пространстве волновых чисел

Далее задача сводится к нахождению распределения энергии по частотам в спектре абсолютно черного тела.

Первоначально считалось, что каждая стоячая электромагнитная волна может рассматриваться как одна колебательная степень свободы. Энергия же, приходящаяся в классической статистике на одну колебательную степень свободы, равна т. е. волны любой частоты имеют одинаковую энергию.

Умножая энергию одной волны на число волн (8. 25), получим энергию излучения в интервале частот

Соответственно, спектральная плотность излучения равна:

Эта формула носит название формулы Релея — Джинса.

Чтобы определить полную энергию излучения, мы должны проинтегрировать выражение (8.36) по всем частотам:

Этот интеграл расходится, и полная энергия излучения получается бесконечной, чего не может быть физически. Значит спектральная плотность излучения найдена нами неверно. Действительно, если сравнить формулу Релея — Джинса с экспериментальными данными, то она хорошо согласуется лишь в области длинных волн, а для коротких волн наблюдается значительное расхождение (рис. 47). Это несогласие классической формулы (8. 27) с экспериментом для коротких длин волн получило название «ультрафиолетовой катастрофы».

Итак, классическая теория не смогла объяснить законы равновесного излучения. Решение этой задачи впервые было получено Планком (1900 г.) с помощью квантовых представлений (см. гл. XI).