§ 2. Описание квантовых систем

Как же описываются квантовые системы?

Для описания различных физических величин и связи между ними в квантовой механике используются линейные самосопряженные операторы действующие на некоторую функцию называемую волновой функцией. Оператор, изображающий определенную физическую величину, показывает, какое действие необходимо произвести над волновой функцией.

Так оператор координаты X показывает, что волновую функцию нужно просто умножить на координату:

Оператор проекции импульса показывает, что волновую функцию необходимо продифференцировать по

Оператор кинетической энергии показывает, что от волновой функции нужно взять сумму вторых производных:

Наибольшую роль в квантовой механике играет оператор Гамильтона изображающий полную энергию системы:

Здесь потенциальная энергия системы, зависящая от координат системы

Волновая функция описывающая состояние системы, обычно находится из операторного уравнения:

где собственные значения оператора

Если это уравнение имеет решение при определенных значениях равных то говорят, что физическая величина, описываемая оператором X, имеет дискретный спектр значений. Если же уравнение (10.6) справедливо при любых значениях то говорят, что физическая величина, описываемая оператором имеет сплошной спектр значений, т. е. может изменяться непрерывно.

Для описания состояния или поведения физической системы вместо уравнений классической механики (в форме канонических уравнений Гамильтона) в квантовой механике исходным уравнением является уравнение Шредингера:

где оператор Гамильтона и волцовая функция.

Для стационарных процессов уравнение Шредингера записывается в следующем виде:

Здесь собственные значения оператора Гамильтона и — собственные функции.

Собственные значения энергии входящие в это уравнение Шредингера, могут принимать как дискретные, так и непрерывные значения. Соответственно, квантовые состояния системы будут иметь дискретный или непрерывный спектр энергии.

Собственные значения энергии и собственные функции находятся из решения уравнения (10.8).

Каждому собственному значению энергии соответствует одно или несколько определенных состояний системы, описываемых одной или несколькими собственными волновыми функциями. Если одному уровню энергии соответствует несколько собственных функций или состояний, то такие уровни называются вырожденными. При этом число состояний, соответствующих данной энергии, называется кратностью вырождения или статистическим весом

Волновая функция, описывающая состояние системы, может зависеть либо только от координат:

либо только от импульсов:

что отражает соотношение неопределенностей.

Оказывается, что простой физический смысл имеет не сама волновая функция а квадрат ее модуля который часто записывается так как волновая функция может быть комплексной.

Квадрат модуля волновой функции связан с вероятностью найти квантовую систему с координатами в элементе пространства координат соотношением

т.е. является плотностью распределения вероятности.

В силу этого квадрат модуля волновой функции должен удовлетворять условию нормировки в виде:

где интеграл берется по всему пространству координат системы. Таким образом, квантовая механика уже в своей основе содержит статистические представления.

Если уравнению Шредингера удовлетворяет волновая функция то этому же уравнению будет удовлетворять и функция в которой изменен порядок частиц (частицы поменялись своими местами). Эта особенность волновой функции отражает факт неразличимости частиц в квантовой механике, т. е. при взаимной перемене координат отдельных частиц не получается нового квантового соотношения. Однако при перестановке частиц волновая функция может изменять знак. Функции, которые при перестановке двух частиц изменяют знак, называются антисимметричными. Если функция не изменяет при этом знак, то она называется симметричной.

В природе существуют объекты, описывающиеся как симметричными, так и антисимметричными волновыми функциями. Симметрия волновой функции зависит от спина частиц, образующих данную квантовую систему. Если частицы имеют целый спин, то они описываются симметричными волновыми функциями. Например, для двух дейтонов

Если частицы имеют полуцелый спин, то они описываются антисимметричными функциями. Например, для двух электронов

Тип симметрии волновых функций определяет число различных состояний системы и приводит, как мы увидим ниже, к двум квантовым статистикам: к статистике Ферми — Дирака и к статистике Бозе — Эйнштейна (см. § 5,6).

Для частиц с полуцелым спином, т. е. описываемых антисимметричными волновыми функциями существует так называемый принцип Паули. Этот принцип утверждает, что в системе не может быть двух частиц в одном и том же состоянии (запрет Паули). Действительно, если две частицы с полуцелым спином будут находиться в одном и том же состоянии, то их перестановка ничего не изменяет в системе. С другой стороны, они описываются антисимметричными волновыми функциями, меняющими знак при перестановке двух любых частиц. Следовательно, в этом случае волновая функция равна нулю и такое состояние не существует.