§ 5. Броуновское движение

Под броуновским движением понимается хаотическое движение микроскопических частиц, взвешенных в жидкости или газе. Оно открыто было ботаником Броуном в 1827 г., а объяснено Смолуховским и Эйнштейном лишь в XX в., как следствие флуктуаций числа и силы ударов, испытываемых частицей со стороны молекул газа или жидкости» Броуновские частицы приходят в движение в результате того, что количество ударов молекул с разных сторон оказывается неодинаковым. Эти флуктуации в числе ударов по статистическим законам пропорциональны Поэтому, если частица большая, т. е. с ней сталкивается одновременно большое число молекул , то флуктуации будут очень малы и большая частица не придет в движение. Если частица имеет микроскопические размеры, то число столкновений будет невелико, а флуктуации большие. Благодаря флуктуациям происходит необратимое перемещение броуновской частицы.

Хотя броуновская частица движется в результате хаотических столкновений с молекулами среды и невозможно точно определить ее траекторию, статистические методы позволяют определить среднее квадратичное отклонение частицы от начального положения как функцию времени. Найдем закон движения броуновской частицы в вязкой среде (рис. 53).

Рис. 53. Броуновское движение

Уравнение движения броуновской частицы будет:

Здесь масса частицы, ее радиус-вектор, вязкая сила, действующая на частицу, имеющую рость наконец, мгновенная равнодействующая всех сил ударов молекул о частицу. Умножим уравнение (9.33) скалярно на

и, воспользовавшись вспомогательными соотношениями

перепишем уравнение (9.34) в виде:

Проинтегрируем последнее уравнение один раз по времени и разделим почленно на

Найдем значения выражений, стоящих в правой части. Первый член представляет удвоенную среднюю кинетическую энергию частицы за промежуток времени от до Так как благодаря столкновениям молекулы среды и броуновская частица непрерывно обмениваются энергией, то на одну степень свободы частицы в среднем приходится энергия Поскольку в поле микроскопа мы рассматриваем движение частицы в плоскости, т. е. с двумя степенями свободы, то кинетическая энергия плоского движения будет равна т. е.

Второй член есть среднее значение произведения за тот же интервал времени. Вследствие хаотичности движения частицы и действующих на частицу сил оно равно нулю:

Поэтому уравнение (9.35) можно переписать так:

Вводя переменную получаем линейное неоднородное уравнение:

решением которого является сумма общего решения однородного уравнения и частное решение неоднородного. Решение однородного уравнения имеет вид:

и для больших интервалов времени обращается в нуль. Частное решение неоднородного уравнения

Подставляя его в (9.37), получаем выражение для А:

Пренебрегая в знаменателе массой для больших промежутков времени получим:

Таким образом, решением уравнения движения броуновской частицы за большие промежутки времени когда можно считать за средний квадрат смещения частицы в плоскости будет выражение:

Формула (9. 40) называется формулой Эйнштейна — Смолуховского. Она показывает, что среднее квадратичное смещение броуновской частицы зависит от температуры и вязкости среды, размеров частиц и пропорционально корню квадратному из времени наблюдения.

Далее, заменяя коэффициентом диффузии для среднего квадрата смещения броуновской частицы за время получаем выражение:

Смещения отдельных броуновских частиц в плоскости от начального положения являются случайными величинами и будут распределяться около среднего квадратичного смещения по гауссовскому закону. Вероятность того, что частица за время сместится на расстояние от начального положения равна:

По аналогии запишем:

Вероятность смещения в плоскости на расстояние

Последняя формула хорошо удовлетворяется на опыте.