§ 3. Применение статистики Ферми — Дирака к описанию поведения системы частиц

Статистика Ферми — Дирака, как отмечалось выше, применяется к частицам с полуцелым спином. К таким частицам относятся, например, электроны, нуклоны, зоны и атомы, в которых сумма электронов и нуклонов оказывается нечетным числом. Например, атом является типичной частицей с полу целым спином. Частицы, подчиняющиеся статистике Ферми — Дирака, называются фермионами. Соответственно систему таких частиц можно рассматривать как газ фермионов или газ-ферми.

Функция распределения числа частиц по состояниям с энергией имеет в этом случае вид:

Как отмечалось, распределение Ферми переходит в больцмановское распределение, если

Поэтому интересно рассмотреть случай, когда

что соответствует условию

Величину найдем из условия нормировки:

где множитель два учитывает, что в каждом энергетическом состоянии могут быть две частицы — со спином и со спином Вообще, для полуцелого спина весовой множитель равен

Рассматривая свободные частицы в пространстве импульсов для числа возможных состояний в интервале энергии от до получим по аналогии с (12. 4) выражение:

При исследовании свойств распределения Ферми представляет интерес график функции Рассмотрим значения этой функции при выбранном условии

Во-первых, при получаем так как малое число. Пока энергия будет значительно меньше функция будет близка к 1. При величине , равной получаем:

С дальнейшим ростом энергии величина убываем и, наконец, при убывание становится близким к экспоненциальному:

т. е. распределение Ферми переходит в больцмановское распределение. Вид кривых меняется с изменением температуры (рис. 69).

Рис. 69. Функция распределения Ферми — Дирака при различных температурах

Область энергий, в которой происходит наиболее резкое изменение функции называют областью размытости распределения Ферми. Мы видим, что по мере понижения температуры эта область сужается практически до нуля при Значение соответствующее разрыву функции при абсолютном нуле, характеризует некоторую граничную энергию частиц ферми-газа.

При абсолютном нуле все состояния с энергией заняты полностью, а состояния с свободны. С повышением температуры это распределение нарушается и часть состояний с энергией оказывается свободной, а с энергией занятой.

Граничная энергия ферми-газа может быть тегко вычислена из условия, что при абсолютном нуле лемпературы полное число частиц будет равно числу

возможных состояний с энергией, меньшей

Отсюда для граничной энергии получаем:

В фазовом пространстве импульсов этой граничной энергии соответствует граничный импульс ограничивающий сферу с радиусом

Таким образом, состояние ферми-газа при абсолютном нуле полностью определено. Частицы занимают последовательно все самые нижние уровни. Действительно, если бы газ состоял из двух частиц, то они могли бы находиться на одном самом нижнем энергетическом уровне, имея противоположные спины. Любая третья частица будет стремиться занять наиболее нижний уровень, но по принципу Паули она не сможет уже попасть на самый нижний уровень и останется на втором. Четвертая частица может занять второе состояние, если будет иметь спин, противоположный третьей частице. Пятая уже сможет занять только третье состояние и т. д. Напомним, что все частицы бозе-газа при абсолютном нуле будут «конденсироваться» на нулевом уровне.

С повышением температуры ферми-газа тепловая энергия будет сообщаться только частицам, имеющим энергию, близкую к граничной энергии Поэтому на более высокие уровни энергии смогут перейти только такие частицы, для которых разность будет порядка Частицы же, расположенные на глубоких уровнях, не изменят своих состояний при нагревании. Таким образом, размытость фермиевского распределения по энергии будет порядка

Кривая распределения Ферми будет иметь вид ступеньки не только при абсолютном нуле, но и при любой температуре, если граничная энергия будет много больше т. е.

Если система частиц Ферми описывается распределением, близким к «ступеньке», то такой ферми-газ называется вырожденным. Критерием вырождения ферми-газа служит температура вырождения определяемая соотношением:

При температурах ферми-газ ведет себя как обычный больцмановский газ. С понижением же температуры свойства как бы вырождаются и при мы имеем дело уже с вырожденным газом.

Для вырожденного газа можно подсчитать внутреннюю энергию если энергию одной частицы умножить на число состоянии и проинтегрировать по всем импульсам от до

Подставляя значение граничного импульса получим

Рассматривая давление газа как имеем следующее уравнение состояния для газа Ферми:

т. е. давление вырожденного ферми-газа пропорционально его плотности в степени и не зависит от температуры.

Итак, мы описали некоторые общие свойства газа невзаимодействующих частиц с полуцелым спином.