§ 3. Свойства вероятности. Формула сложения и умножения вероятностей

Свойства вероятности. Из определения вероятности (2.1) следует, что

так как Следовательно, вероятность безразмерная величина, она не бывает отрицательной и не может превосходить единицу, а всегда выражается правильной дробью, нулем или единицей.

Если то это значит, что любое испытание оказывается благоприятным. Событие, вероятность которого равна единице, называется достоверным. Например, выпадение любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 при одном бросании игральной кости будет событием достоверным.

Если вероятность то событие называется невозможным.

Очень часто приходится по вероятностям отдельных событий определять вероятности более сложных событий. Для этого существуют две общих теоремы теории вероятностей — теорема сложения и теорема умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Пусть сложное событие заключается в наступлении либо события А, либо события В, которые в свою очередь являются несовместимыми событиями Тогда по определению (2.1) можно записать вероятность сложного события

где полное число испытаний, а и числа выпадений событий соответственно.

Поскольку из определения (2.1) следует, что

то вероятность сложного события выразится как сумма вероятностей отдельных событий:

В случае непрерывной функции распределения, если нас интересует вероятность того, что случайная величина будет находиться либо в интервале от до либо в интервале, от будем иметь

Эту теорему легко распространить на любое число несовместимых событий:

Вероятность события, заключающегося в том, что непрерывная случайная величина принимает одно из значений в конечном интервале от до можно, воспользовавшись теоремой о сложении вероятностей, найти как интеграл от

Теорема о сложении вероятностей позволяет ввести новое понятие полной системы событий — это все события, которые могут произойти при данном испытании. Например, при бросании игральной кости, события, заключающиеся в выпадении цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6, образуют полную систему событий, т. е. все возможные и ни одного лишнего.

Сумма вероятностей для полной системы событий равна 1, так как появление любого события из полной системы при испытании представляет достоверное событие. Если события составляют полную систему, то

Вероятность наступления одного Из событий никогда не может превышать суммы вероятностей наступления всех событий (из полной системы событий).

Для непрерывной случайной величины полной системой событий окажется возможность принимать любое значение во всем интервале изменения случайной величины от а до или от до Понятно, что вероятность найти случайную величину во всем интервале ее возможных значений представляет достоверное событие. Поэтому

т. е. площадь (см. рис. 1), ограниченная кривой и осью должна быть равна единице. Это условие называется условием нормировки функции распределения.

Представлением о полной системе событий часто пользуются для определения вероятности. Например, движение

молекул в пространстве можно разбить на события, заключающиеся в движении молекул вдоль одного выделенного направления в одну и другую сторону. Поскольку любая молекула согласно кинетическим представлениям обязательно движется, ее скорость имеет проекцию на выделенное направление либо в одну, либо в другую сторону. Поскольку эти две возможности образуют в нашем случае полную систему событий, вероятность того, что при хаотическом движении молекула движется в определенную сторону, равна

Действительно, обе вероятности вследствие хаотичности движения равны:

а вследствие полноты системы событий

т. е.

Далее, если несовместимые события образуют полную систему событий, то событие А взаимно противоположно событию В. Вероятность любого события можно определить через вероятность взаимно противоположного события по формуле

т. е. вероятность любого события равна единице минус вероятность взаимно противоположного события.

Теорема умножения вероятностей. Иногда некоторое сложное событие может произойти только при условии, что произойдет другое событие. Вероятность такого сложного события в этом случае называется условной вероятностью. Условная вероятность события А при условии выпадения события В определяется по формуле

Точно так же вероятность сложного события, заключающегося в том, что одновременно имеют место два независимых события определяется через произведение вероятностей отдельных независимых событий по формуле

Последняя формула обобщается на случай любого числа независимых событий:

Вероятность наступления только одного из событий всегда больше, чем вероятность наступления этого события вместе с другими независимыми.

В случае непрерывных независимых величин х и у вероятность сложного события, заключающегося в том, что случайная величина принимает значение в интервале от до и одновременно случайная величина у — значение в интервале от у до у + dy, будет определяться произведением вероятностей:

Произведение функций можно рассматривать как функцию распределения для двух случайных величин.