Глава IX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФЛУКТУАЦИЙ

§ 1. Определение флуктуации

Если система находится в состоянии равновесия, то любые физические величины на самом деле непостоянны, а непрерывно изменяются около своего среднего равновесного значения (рис. 48).

Рис. 48. Флуктуации физической величины со временем

В малых частях или за малый промежуток времени в любой реальной системе благодаря микроскопическому движению происходят самопроизвольные изменения макроскопических параметров. Эти непрерывно существующие в системе случайные отклонения физических величин от средних значений называются флуктуациями.

Флуктуации рассматриваются только в статистической теории, а в термодинамике этого понятия не существует. Ими объясняются многие физические явления, например, рассеяние света, возникновение нерегулярных (флуктуа-ционных) токов в цепях без и др. Наличие флуктуаций кладет предел чувствительности различных измерительных приборов.

Нахождение вероятности возникновения той или иной абсолютной величины флуктуаций является одной из основных задач теории флуктуаций.

Дадим математическое определение флуктуаций. Для этого напомним основные обозначения, встречающиеся при определении средних значений:

мгновенное значение физической величины;

среднее значение;

отклонение от среднего значения, причем

— квадрат отклонения от среднего;

— средний квадрат отклонения или дисперсия;

— среднее квадратичное отклонение от среднего.

Для приближенной оценки флуктуации физической величины пользуются ее средним квадратичным отклонением. Обычно этого бывает достаточно. Но иногда для оценки флуктуации могут использоваться отклонения и более высокой степени, например среднее биквадратичное отклонение.

Флуктуация физической величины, вычисляемая через среднее квадратичное отклонение, равна:

Иногда вместо абсолютной величины флуктуации вводят относительную флуктуацию, определяемую так:

Определение флуктуации через среднее квадратичное отклонение облегчает оценку ее величины. Действительно, квадратичное отклонение или дисперсия также как и является случайной величиной. Эта случайная величина оказывается распределенной около среднего значения по нормальному (гауссовскому) закону:

Этот закон показывает (рис. 49), что отклонения, большие среднего квадратичного, встречаются гораздо реже, чем малые отклонения.

Рис. 49. Нормальный закон распределения случайной величины около среднего значения

Поэтому среднее квадратичное отклонение может давать представление о масштабах флуктуаций той или иной случайной физической величины. Распределения (9.3) будут иметь тем более узкий максимум, чем меньше дисперсия Конечно, возможны отклонения, значительно превышающие среднее квадратичное, но они будут иметь очень малую вероятность и поэтому не будут заметно влиять на свойстйа системы.

Таким образом, для оценки флуктуаций в системе необходимо знать средний квадрат отклонения физической величины, который можно определить, например, по следующей формуле:

где средний квадрат, квадрат среднего значения. Среднее значение физической величины

определяется из опыта, а средний квадрат часто бывает неизвестным.

Средний квадрат, а следовательно, и значение флуктуации любой физической величины можно выразить через каноническое распределение Гиббса:

В частном случае, когда физическая величина зависит от импульса системы задача отыскания флуктуации решается до конца интегрированием выражения:

где либо известно из опыта, либо вычисляется по формуле

В общем же случае, когда зависит от вычисление интеграла (9.5) представляет большие трудности.