§ 2. Каноническое распределение Гиббса

Теперь найдем функцию распределения для изотермической системы, находящейся в термостате. При этом изотермическую систему можно рассматривать как некоторую часть еще большей системы. Для этой части большой системы и нужно найти функцию распределения

Разобьем рассматриваемую часть системы (или систему в термостате) на две подсистемы Как и раньше будем считать, что функции распределения для первой и

второй подсистем будут зависеть от полной энергии подсистемы т. е.

Полную энергию рассматриваемой изотермической системы можно представить как сумму полных энергий обеих подсистем и энергии взаимодействия между ними:

При этом энергия взаимодействия выбранных подсистем может быть сделана малой величиной по сравнению с если сами подсистемы выбрать достаточно большими. Действительно, внутренняя энергия подсистем будет пропорциональна их объему, а энергия взаимодействия — пропорциональна их поверхности.

Таким образом, сделав допущение о малости энергии взаимодействия, имеем:

Теперь, используя теорему об умножении вероятностей для независимых подсистем получим выражение:

которое мы сначала прологарифмируем:

а затем возьмем дифференциалы от левой и правой частей:

или

Из последнего уравнения, считая, что могут независимо обращаться в нуль, найдем:

где а — некоторая постоянная, так как производные одной и той же функции при разных аргументах могут быть равны только тогда, когда они будут постоянными.

Интегрируя последнее равенство, получим:

где постоянная интегрирования.

Возвращаясь к функции имеем:

Очевидно, что а здесь отрицательно из физических условий при нормировке.

Вводя вместо постоянных новые постоянные и

запишем функцию распределения в следующем виде:

Последнее равенство и представляет собой так называемое каноническое распределение Гиббса для изотермической системы. При его выводе предполагалось малое взаимодействие в самой рассматриваемой системе, а также постоянство температуры

Параметр называется модулем канонического распределения. Постоянная определяется из условия нормировки функции распределения:

Здесь интеграл от функции распределения берется по всему фазовому пространству (фазовому ансамблю).

Если система состоит из тождественных частиц, то различные перестановки этих частиц не приведут к новому микросостоянию системы, хотя и будут изображаться разными точками фазового пространства. Поэтому для систем тождественных частиц нужно исключить все точки фазового пространства, соответствующие различным перестановкам частиц.

Поскольку из частиц возможно перестановок, то фазовое пространство системы тождественных частиц

следует уменьшить в раз. Тогда каноническое распределение Гиббса запишется в виде:

Однако в большинстве случаев множитель влияет лишь на нормировочную постоянную и поэтому может быть опущен.