§ 3. Связь распределения Максвелла по скоростям с абсолютной температурой

В предыдущем параграфе мы получили распределение Максвелла с неопределенным параметром а, справедливое для разных газов при различных условиях. Однако при изменении температуры газа скорость хаотического движения молекул должна изменяться. С повышением температуры скорость молекул увеличивается, вследствие чего в распределении по скоростям должно увеличиваться число молекул с большими скоростями.

Такое изменение в распределении скоростей молекул с температурой может получаться лишь при наличии зависимости параметра а от температуры. Таким образом, самые общие соображения кинетической теории приводят к зависимости параметра а от температуры.

Но мы еще не ввели понятие температуры для механической модели идеального газа. Абсолютная температура — это термодинамический параметр. Чтобы придать ему статистический смысл, нужно приравнять статистические и термодинамические параметры системы. Выразим давление, оказываемое идеальным газом на неподвижную стенку, через параметр а максвелловского распределения и сравним с давлением газа по уравнению состояния.

Вспомним, что очень часто следующие друг за другом (см. задачу 2) упругие удары молекул о стенку будут создавать в среднем постоянную силу давления. Чтобы определить эту силу, нужно, во-первых, подсчитать силу, действующую на стенку со стороны одной йолекулы, и, во-вторых, усреднить эту силу по всем сталкивающимся со стенкой в единицу времени молекулам.

При упругом ударе молекулы о стенку нормальная Составляющая количества движения изменится на обратную , а составляющие останутся без изменения (рис. IX). Поэтому изменение количества движения молекулы при ударе о стенку равно:

Рис. 11. Изменение составляющей количества движения молекулы при упругом ударе о стенку

Оно вызывается импульсом силы, действующим на молекулу со стороны стенки, при этом на стенку действует импульс такой же величины:

Сумма импульсов, получаемых стенкой от молекул за единицу времени, будет силой давления на стенку, а отнесенная к единице площади — давлением газа на стенку.

Это давление можно рассматривать как сумму давлений оказываемых на стенку молекулами с разными проекциями скоростей

Для подсчета давления найдем число молекул с проекциями скоростей от до

сталкивающихся с единицеи поверхности стенкй в единицу времени

Пусть в газа содержится молекул. Тогда число молекул в имеющих проекцию скорости в интервале от до мы определим по формуле

Рис. 12. К подсчету числа столкновений молекул со стенкой в единицу времени

В единицу времени с поверхностью стенки площадью в столкнется столько молекул, имеющих скорость сколько их находится в объеме цилиндра с основанием в и высотой, численно равной (рис. 12), т. е.

Все эти молекулы будут оказывать на стенку давление

Для вычисления полного давления необходимо взять интеграл:

Вычислим это выражение при условии, что нас интересуют только молекулы сталкивающиеся со стенкой, у которых меняется от до

Сравним полученное выражение с давлением идеального газа по закону Клапейрона — Менделеева, записанного для одного моля:

В этом случае и где число

Авогадро, V — объем системы, постоянная Больцмана и универсальная газовая постоянная. Окончательно получим:

Отсюда следует, что параметр максвелловског о распределения а связан с абсолютной температурой по формуле

Теперь максвелловское распределение можно будет записать, подставляя значение параметра а:

или

Кривые Максвелла при различных температурах представлены на рис. 13 и 14. Мы видим, что с увеличением температуры все кривые смещаются в сторону более высоких

скоростей. Однако площади, ограниченные каждой кривой и осью скоростей, должны оставаться одинаковыми при любой температуре по условию нормировки.

Вследствие этого с увеличением температуры число молекул с большими скоростями увеличивается, а число медленных молекул уменьшается.

Рис. 13. Изменение вида функции максвелловского распределения по проекциям скоростей с изменением <гемпературы

Кроме распределения молекул по скоростям, часто встречаются распределения по импульсам и по кинетическои энергии молекул, которые также будут случайными величинами. Эти распределения можно получить, преобразуя соответственно максвелловское распределение по скоростям.

Вводя импульс с проекциями распределения Максвелла (3.19) и (3.20) можно переписать в виде:

и

откуда для функций распределения по проекциям и модулю импульса будем иметь соответственно:

и

Рис. 14. Изменение вида максвелловского распределения по модулю скорости с изменением температуры

Вводя в распределение (3.20) вместо скорости кинетическую энергию получим:

Так как энергия является скалярной величиной, то максвелловское распределение по энергии будет только одно, а именно: