Глава XII. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИК БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ — ДИРАКА

§ 1. Применение статистики Бозе — Эйнштейна к описанию системы частиц

Рассмотрим применение статистики Бозе — Эйнштейна к системе частиц с целым или нулевым спином. Такими частицами могут быть, например, фотоны, -мезоны, атомы, в которых число электронов и нуклонов оказывается четным, а также некоторые другие частицы. Все они называются бозонами, так как подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Системы таких частиц можно Сматривать как газ бозонов или бозе-газ.

Функция распределения по энергиям состояний для бозе-газа определяется распределением Бозе — Эйнштейна:

Здесь среднее число частиц, приходящееся на одно энергетическое состояние Величина неопределенного коэффициента должна определяться из условия

нормировки распределения (12. 1). В общем случае условие нормировки запишем в виде:

где статистический вес квантовых состояний с различной энергией.

Мы уже встречались со статистическим весом квантовых состояний осциллятора и ротатора Теперь для нормировки функции (12. 1) необходимо знать статистический вес энергетического состояния для частицы бозе-газа. Чтобы найти в этом случае, вспомним, что энергию свободной частицы можно выразить через импульс по формуле

Если импульсы частицы отложить по осям координат декартовой системы, то объем пространства импульсов, соответствующий модулю импульса от до будет равен

Поскольку объем системы можем считать V, объем фазового пространства частицы, соответствующий энергии можно записать как . С помощью соотношения неопределенности можно найти число состояний частицы в этом фазовом объеме. Для этого нужно объем фазового пространства, соответствующий импульсам от до разделить на минимальный объем фазового пространства для одного состояния

Отсюда, используя (12.3), получаем, что число состояний с энергией между или статистический вес состояний выражается следующей формулой

Воспользовавшись последнйм соотношением, условие нормировки (12.2) запишем в виде:

Из этого условия в принципе и находится величина Здесь же мы покажем, что условие (12. 6) может быть выполнено только при отрицательном значении величины Действительно, если предположить, что то в случае, когда подынтегральное выражение становится отрицательным. Но это невозможно, так как функция распределения по смыслу должна быть положительной. Следовательно,

Можно показать, что производная всегда отрицательна, т. е. возрастает с уменьшением температуры все время оставаясь отрицательной величиной (см. задачу 1). Оказывается, что обращается в нуль при вполне определенной температуре не равной нулю. Обратившись в нуль при температуре величина и при более низких температурах должна оставаться равной нулю. Это следует из того, что величина не может быть положительной и производная не изменяет знака. Но если остается равным нулю при дальнейшем понижении температуры то равенство (12. 6) перестает выполняться (если число частиц считать постоянным). Чтобы равенство (12.6) сохранялось, необходимо, чтобы число частиц в системе уменьшалось с понижением температуры. Частицы не могут уйти из системы. Поэтому, чтобы сохранялось равенство (12. 6), они должны переходить на уровень с нулевой энергией. (При этом они не будут учитываться интегралом (12. 6), зависящим от энергии.) Таким образом, при температурах ниже, чем часть частиц бозе-газа будет находиться на уровне с нулевой энергией, а остальные — распределяться по другим уровням по закону

Описанное явление, связанное с переходом частиц на нулевой уровень и с различным распределением по

энергиям двух частей -газа, называется бозе-конденсацией. При абсолютном нуле температуры все частицы бозе-газа будут находиться на нулевом уровне.

Рассмотрим другие свойства бозе-газа. Сначала вычислим энергию бозе-газа по формуле

С помощью соотношения определим давление:

Последняя запись является как бы уравнением состояния бозе-газа (зависящим от параметра

Покажем, что при условии когда распределение Бозе-Эйнштейна переходит в классическое распределение Больцмана, уравнение (12.8) переходит в уравнение Клапейрона — Менделеева. Для этого воспользуемся малостью величины и заменим через

Затем (см. Приложение) с учетом (12.6) получим:

Рассмотрим формулу (12. 8) и при температурах, много меньших температуры конденсации. В этом случае и для давления получаем величину:

(значение интеграла см. в Приложении).

Таким образом, давление бозе-газа ниже точки перехода зависит только от температуры, но не от объема. При сжатии и расширении такого газа частицы будут либо переходить на нулевой уровень, либо выходить с ну левого уровня при постоянной температуре.

Существуют ли способы экспериментальной проверки полученных для бозе-газа соотношений?

Тот факт, что при высоких температурах любой газ ведет себя в соответствии с уровнем состояния Клапейрона — Менделеева, не требует особых подтверждений. Однако явления конденсации бозе-газа при низких температурах оказываются более интересными, так как больцмановский газ такими свойствами не обладает.

Оценка температуры конденсации показывает, что при этой температуре все вещества находятся в твердом или жидком состоянии, т. е. уже не являются газами. Казалось бы, что в силу этого невозможно экспериментальное подтверждение полученных результатов. Но в жидком при температуре наблюдается своеобразное изменение состояния. Оказывается, что это изменение состояния можно рассматривать как конденсацию бозе-газа. При температуре ниже жидкий гелий состоит из двух компонент: нормальной, которую можно рассматривать как еще несконденсировавпшйся бозе-газ, и сверхтекучей, которую можно рассматривать как сконденсировавшийся на нулевой уровень бозе-газ. Находящиеся на нулевом уровне частицы сверхтекучей составляющей жидкого гелия не могут участвовать в теплоемкости и передавать энергию при относительном движении. Другими словами, в сверхтекучей компоненте жидкого отсутствует внутреннее трение (вязкость).

Соответственно переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние (фазовый переход второго рода) можно рассматривать как подтверждение теории конденсации бозе-газа.

Заметим, что жидкий изотоп который из-за нечетного числа нуклонов в ядре имеет спин и подчиняется статистике Ферми — Дирака, не образует сверхпроводящую компоненту.