§ 5. Теорема о сохранении фазового объема (Теорема Лиувилля)

Рассмотрим поведение множества точек, образующих малый элемент фазового пространства:

Вследствие движения каждой точки по фазовой траектории форма этого элемента объема фазового пространства с течением времени будет изменяться довольно произвольным образом, однако величина его при этом остается неизменной. Докажем эту теорему.

Точки фазового пространства, изображающие различные механические системы, не могут возникать и исчезать (так же как не могут возникать и исчезать сами механические системы, которые они изображают). Если число точек фазового пространства сохраняется, то изменение их числа в рассматриваемом элементе фазового объема может произойти только за счет втекания этих точек из других частей пространства или вытекания этих точек из элемента фазового объема в другие части пространства измерений. Рассмотрим, сколько точек может втекать вдоль одного выбранного направления. Для этого представим себе элемент объема фазового пространства (рис. 23) и рассмотрим две его поверхности ортогональные к некоторому выделенному направленйю будет число точек в единице объема фазового пространства. Если происходит движение этих точек вдоль выбранного направления, то можно записать число точек вошедших через поверхность с координатой за единицу времени. Это число будет

равно произведению числа точек на проекцию их скорости на выбранное направление и на площадь поверхности

Через вторую поверхность с координатой вытечет число точек, равное:

где второй член в скобках учитывает изменение величин на участке

Рис. 23. К выводу теоремы Лиувилля

Разность между числом точек, втекающих через и вытекающих через

дает нам изменение числа точек внутри выбранного объема вследствие их движения вдоль одного направления в единицу времени.

Но в фазовом пространстве имеется независимых направлений и через каждое такое направление, так же как и через рассмотренное, могут втекать и вытекать точки фазового пространства. Поэтому полное изменение числа точек в элементе фазового пространства в единицу времени будет определяться суммой выражений (5.17):

Для трехмерного случая это будет лросто уравнение непрерывности:

Значит, полученное уравнение (5.18) можно рассматривать как уравнение непрерывности (сохранения), обобщенное на -мерное пространство обобщенных координат и импульсов.

Запишем уравнения (5.18) через обобщенные координаты и импульсы:

Здесь первые два члена представляют собой полную производную от по времени (с учетом того, что есть функция т. е. Поэтому равенство (5.19) можно записать так:

В этом равенстве пока отражены только общие кинематические соотношения. Далее мы должны воспользоваться тем, что рассматриваем консервативную систему и поэтому ее обобщенные координаты и импульсы могут быть выражены через функцию Гамильтона:

Подставив эти уравнения в равенство (5.20), получим

Таким образом, для ансамбля, подчиняющегося уравнениям Гамильтона, плотность числа фазовых точек не изменяется при своем движении вдоль фазовой траектории,

т. е. элементы фазового объема перемещаются как несжимаемая жидкость.

Уравнение вдоль фазовой траектории и представляет теорему Лиувилля, справедливую для систем в течение промежутков времени, пока системы можно считать замкнутыми.

Вследствие теоремы Лиувилля элементарный объем в фазовом пространстве, перемещаясь с течением времени, будет оставаться постоянным по величине, хотя его форма может меняться, т. е.

Это одно из основных положений статистической механики. Действительно, если в какой-либо момент времени вероятность нахождения фазовой точки в определенном элементе объема фазового пространства известна, то она будет известна и для любого другого момента времени. В силу этого становится возможным вместо начальных условий, используемых в механике, принять статистическое предположение о равновероятности состояний, изображаемых элементами фазового пространства равного объема.

Из теоремы Лиувилля непосредственно следует, что функция распределения должна выражаться только через такие комбинации переменных которые с течением времени остаются постоянными для системы. Таким свойством обладают механические интегралы движения. Значит функция распределения сама должна зависеть от этого интеграла и, следовательно, также быть интегралом движения.

Если отвлечься от поступательного и вращательного движения системы как целого, то функция распределения, а следовательно, и состояние системы должны определяться ее энергией.