§ 4. Электронный газ в металлах

Примером системы частиц с полуцелым спином, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, являются электроны. Однако полученные выводы для газа-ферми нельзя применить просто к системе электронов так как между

Электронами будут действовать кулоновские Силы, а частицы ферми-газа мы рассматривали невзаимодействующими. Поэтому рассмотрим электронный газ в металле, где кулоновские силы отталкивания между электронами скомпенсированы силами притяжения к ионам кристаллической решетки. Это позволяет рассматривать электроны проводимости в металле как свободные частицы.

Считая, что на каждый атом в металле освобождается один электрон, и пользуясь формулой (12. 26), можно оценить температуру вырождения по формуле

Для многих металлов эта оценка дает значение от нескольких десятков тысяч до сотен тысяч градусов. Поэтому электронный газ в металлах при обычных температурах оказывается вырожденным. Следовательно, к нему можно применить основные выводы, полученные для вырожденного ферми-газа в предыдущем параграфе.

Поскольку в дальнейшем речь будет идти об электронном газе в состоянии сильного вырождения, то статистический вес в дальнейшем везде положим равным двум.

Электроны в металле занимают подряд все уровни, начиная с самого нижнего. В силу почти полного вырождения электронного газа в металле существует вполне определенный уровень энергии, который является последним уровнем, занятым электронами. Выше этого урбвня в металле возможные энергетические состояния оказываются незанятыми электронами (рис. 70). Последний занятый электронами уровень называется уровнем Ферми.

В первой части мы отмечали, что представление электронов в металле в виде классического идеального газа не позволило объяснить отсутствие у него сколько-нибудь заметной теплоемкости. Согласно классической теории о равномерном распределении энергии по степеням свободы электроны должны давать вклад в теплоемкость металла, равный . В действительности же вклад электронного газа в теплоемкость металла оказывается порядка от этой величины. При этом наблюдаемая часть электронной

теплоемкости металла изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре. Поэтому в первую очередь постараемся объяснить эти особенности электронного газа в металлах на основании свойств вырожденного газа Ферми.

Считая, что распределение Ферми для электронов в металле размыто только в области вблизи граничной энергии (энергии Ферми), оценим часть электронов, которые изменяют свою энергию при нагревании газа от нуля до температуры

Рис. 70. Заполнение энергетических уровней электронами в металле и уровень Ферми

Для приближенной оценки предположим, что полное число свободных электронов в металле удовлетворяет уравнению (12. 28). Число же электронов, приходящихся на интервал энергии вблизи граничной энергий равно:

Заменяя Энергию через и интервал энергии Де через а также учитывая, что вблизи граничной энергии функция найдем относительное число электронов, участвующих в энергетических переходах и, следовательно, в теплоемкости:

Следовательно, увеличение внутренней энергий электронного газа вследствие нагревания от абсолютного нуля до температуры будет равно:

так как возрастание энергии каждого электрона приблизительно Теплоемкость электронного газа в этом случае

Таким образом, нам удалось объяснить линейную зависимость теплоемкости металла от температуры. С другой стороны, полученная величина теплоемкости оказывается очень малой. Действительно, так как температура вырождения то теплоемкость будет примерно равна:

Таким образом, качественное рассмотрение внутренней энергии электронов в металле позволяет получить для их теплоемкости правильную температурную зависимость порядок величины исходя из представлений о вырожденном электронном газе.

Более строгая теория дает для внутренней энергии электронного газа в металле следующее выражение:

Соответственно для теплоемкости получается выражение:

где энергия уровня Ферми.