§ 6. Сопоставление статистик Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Для квантовых систем мы получили три различных функции распределения:

(статистика Максвелла — Больцмана), (10.37)

(статистика Бозе — Эйнштейна), (10.38)

(статистика Ферми — Дирака). (10.39)

Различие в функциях распределения обусловлено природой и свойствами микрообъектов, описываемых каждой из этих трех статистик (рис. 57).

Однако, как видно из приведенных формул, при условии

статистики Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака переходят в статистику Максвелла-Больцмана, которую можно рассматривать как предельный случай этих двух квантовых статистик (рис. 58).

Таким образом, статистика Максвелла — Больцмана, полученная на основе как классических представлений, так

и квантовых, может быть предельным случаем двух других квантовых статистик.

Но при выводе функции распределения Максвелла — Больцмана предполагалась различимость частиц. Поэтому в общем случае распределение по дискретным уровням (10.37) не может применяться к реальным частицам, так как частицы оказываются на самом деле неразличимыми.

Рис. 57. Распределение Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака при условии

Рис. 58. Распределение Максвелла — Больцмана, Бозе — Эйнштейна и Ферми-Дирака при условии

Однако существует целый ряд квантовых систем, получивших название локализованных, в которых квантовые микрообъекты можно считать локализованными в определенных точках пространства. Оказывается, что для таких систем принцип неразличимости частиц не имеет значения.

В локализованных системах требования симметрии волновых функций не снижают числа возможных микросостояний. К ним относятся системы, построенные из частиц, положение которых фиксировано. Например, система гармонических осцилляторов, пространственное положение которых фиксировано, будет локализованной системой.

Такими локализованными системами можно считать, например, кристаллическую решетку твердого тела. Или, рассматривая теплоемкости внутренних степеней свободы молекул в газе, мы интересуемся только внутренней энергией отдельных молекул и можем не интересоваться их пространственным расположением. Зная полное число молекул, можно найти энергию и теплоемкость газа. При этом для нас совсем не имеет значения, будут ли молекулы как

квантовые объекты в объеме различимы или нет. Вот к такйм квантовым объектам, как локализованные системы, и можно применять распределение Максвелла — Больцмана для дискретных уровней энергии. Квантовая статистика без учета условий симметрии называется полной квантовой статистикой.

В других же случаях приходится использовать либо распределение Бозе — Эйнштейна для частиц или систем с целым спином, либо распределение Ферми — Дирака для частиц или систем с полуцелым спином.

Соответственно применяемым статистикам частицы получили следующие названия: в статистике Бозе — Эйнштейна — бозоны и в статистике Ферми — Дирака - фермионы.

Все три статистики совпадают только в случае, когда выполняется условие (10.40), которое аналогично следующему условию, налагаемому на параметры системы (см. задачу 7):

Если неравенство (10.41) удовлетворяется, для любой квантовой системы можно пользоваться распределением Максвелла — Больцмана. В противном же случае наступает вырождение и пользоваться распределением Максвелла—Больцмана нельзя. Условие (10.41) носит название критерия вырождения.

Критерий вырождения зависит от нескольких параметров. В него входит плотность масса и температура Если при высоких температурах можно пользоваться распределением Максвелла — Больцмана, то с понижением температуры условие (10.41) будет нарушаться. При этом в системе начнут сказываться квантовые эффекты, наступит вырождение. Вырождение в газе наступит тем раньше, чем меньше масса частиц и больше плотность.

Можно привести оценку температур вырождения различных газов. Например, для электронного газа температура вырождения оказывается порядка Для водорода, масса молекул которого во много раз меньше, чем у других газов, температура вырождения оказывается наиболее низкой (кроме массы, здесь влияет еще и плотность газа).

Для всех обычных газов отличие квантовой статистики от классической при нормальных условиях оказывается ничтожно малым. Оба квантовых распределения можно с большой степенью точности заменить распределением Максвелла — Больцмана.

Отсутствие различия между статистиками станет более понятным, если в этом случае оценить среднее число частиц в одном квантовом состоянии. Оказывается, что в невырожденном газе плотность заполнения состояний очень мала.

Рис. 59. Сравнение числа возможных состояний и числа частиц для определения критерия вырождения

В каждом состоянии находится в среднем гораздо меньше одной частицы. Поэтому случаи попадания в одно квантовое состояние двух и более частиц практически никогда не осуществляется. Следовательно, неразличимость частиц или невозможность их нахождения в одном состоянии в данном случае не сказывается из-за физических условий, в которых рассматривается система (рис. 59).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)