§ 5. Средние относительные скорости

Иногда нас может интересовать относительная скорость двух молекул Величина этой скорости в реальном газе будет определять частоту и характер столкновений молекул. В зависимости от кинетическои энергии относительного движения произойдет упругое или неупругое столкновение молекул, Поэтому вычисление

среднего квадрата и среднего модуля относительной скорости молекул в газе представляет определенный интерес.

Пусть одна из молекул движется со скоростью , а другая — со скоростью Тогда относительная скорость будет а ее модуль

Величина зависит от скоростей молекул, движение которых можно считать независимым, а скорости распределенными по Максвеллу. Тогда функция распределения случайной величины будет определяться произведением двух максвелловских функций можно выразить с помощью обычных формул:

и

Сначала вычислим используя соотношение

где угол между векторами и

Средний квадрат относительной скорости можно переписать в виде:

откуда, считая функции нормированными, получим:

В последнем выражении угол зависит от направления скоростей что затрудняет интегрирование. Однако значение последнего интеграла в нашем случае можно найти. Для этого угол следует отсчитывать от направления вектора вектор рассматривать соответственно в сферических координатах. Тогда, учитывая изотропность движения молекулы, последний интеграл в (3.40) можно приравнять нулю:

так как

Поэтому окончательно получим:

Если массы молекул одинаковы, то средний квадрат относительной скорости будет в 2 раза больше среднего квадрата скорости отдельных молекул газа:

Вычислить среднюю скорость относительного движения оказывается несколько труднее. Для этого перепишем выражение (3.38) в следующем виде:

где

Для вычисления этого выражения необходимо от рассмотрения движения молекул в пространстве перейти к рассмотрению их относительного движения и движения от центра масс

Скорость центра масс определим из закона сохранения количества движения:

Считая массы молекул одинаковыми получим:

при этом относительная скорость

Два последних равенства позволяют выразить скорости через скорости

Преобразуем соответственно и элемент объема фазового пространства скоростей по формуле (2.31):

где якобиан преобразования равен

Подставляя в виде и (3.44) в выражение (3.41), получим:

Пределы интегрирования по сохраняются и для интегрирования по как видно из формул (3.37) и (3.42).

В силу изотропности движения молекул в газе будем рассматривать лишь модули скоростей Тогда элемент пространства скоростей можно представить как

Теперь искомое выражение будет иметь следующий вид:

Интегрируя (можно воспользоваться интегралами из Приложения), получим:

Таким образом, абсолютное значение средней относительной скорости для одинаковых молекул оказывается в -2 раз больше средней абсолютной скорости молекул