§ 6. Функция распределения для нескольких случайных величин

В ряде случаев приходится рассматривать так называемые многомерные случайные величины, т. е. такие, значения которых распределены в пространстве двух и более измерений.

Для многомерных случайных величин также существуют законы и функции распределения, с помощью которых можно находить любые функции от этих случайных величин.

Часто функцию распределения для многомерной случайной величины можно получить из функций распределения для составляющих случайных величин.

Получение такой функции распределения рассмотрим на следующем примере.

Пусть нас интересует вероятность события, заключающегося в одновременном появлении у случайной величины значений в интервале от до случайной величины у значений в интервале от у до

Какова же будет эта вероятность?

Если случайные величины х и у являются независимыми, то по теореме умножения вероятностей вероятность одновременного появления двух независимых событий определяется их произведением:

Очевидно стоящее справа произведение функций распределения представляет собой по смыслу функцию распределения для двух случайных величин имеющую также смысл двумерной плотности вероятности, т. е. вероятности, отнесенной к площади

Аналогично вероятность того, что три независимые случайные величины одновременно находятся в соответствующих интервалах определяется выражением:

Произведение трех функций распределения будет плотностью вероятности или функцией распределения трех случайных величин:

Аналогично для независимых случайных величин будет записываться многомерная функция распределения:

Если имеется некоторая функция этих случайных величин то с помощью многомерной функции распределения можно определить ее среднее значение по общей формуле:

Иногда возникает обратная задача; по функции распределения для трех случайных величин требуется найти функцию распределения для двух или одной случайной величины.

В большинстве случаев находят непосредственным интегрированием по всей области изменения случайной величины чтобы учесть все ее возможные значения:

Аналогично из функций распределения двух случайных величин можно получить функцию распределения для одной из них с помощью интегрирования по другой:

Объединяя формулы (2.28) и (2.29), получим следующее равенство:

Обобщая наши рассуждения на любое число независимых случайных величин, можно записать следующую формулу:

При этом функция распределения по любому числу случайных величин должна удовлетворять условию нормировки:

Часто при рассмотрении нескольких случайных величин пользуются геометрической интерпретацией. Значения одной случайной величины изображают на некоторой прямой или оси. В случае двух случайных величин х и у их можно изобразить в виде двух декартовых осей координат. Тогда «пространством» существования двух случайных величин будет плоскость. Для трех независимых случайных величин мы получим трехмерное пространство.

Вообще для случайных величин можно ввести -мерное пространство, если сопоставить каждой случайной величине ортогональную ось (всего осей).

Соответственно функция распределения будет задана на прямой, плоскости или в -мерном пространстве этих случайных величин.

Вероятности будут определяться, кроме функции распределения, еще и элементами пространства, а именно:

Обозначая все случайные величины буквой с соответствующим индексом, т. е.

и

элемент -мерного пространства удобнее записывать в виде:

В случае трехмерного пространства для векторных случайных величин элемент пространства часто записывается следующим образом: для координат

для скоростей

Особенно удобно геометрическое представление в трехмерном пространстве векторных случайных величин. Например, в пространстве скоростей, обобщенных импульсов или волновых векторов.

При этом в пространстве случайных величин можно встретиться с преобразованием координат от прямоугольных к полярным или к сферическим. Рассмотрим, как при этом преобразуется выражение для вероятности.

Рис. 6. Переход от декартовых координат к полярным

В качестве простейшей функции распределения возьмем равномерное распределение. Пусть мы имеем две случайные величины х и у, равномерно распределенные вдоль соответствующих осей, т. е.

Распределение этих двух случайных величин на плоскости также будет равномерным:

т. е. вероятность будет зависеть только от величины выбранного элемента площади Чем больше будет элемент площади, тем больше соответствующая вероятность.

Далее, если от прямоугольных координат перейти к полярным координатам то элемент площади перейдет в элемент (рис. 6). Поскольку при равномерном

распределении вероятность пропорциональна соответствующему элементу площади, то получим:

Но обычно переход к полярным координатам делается в том случае, если нас не интересует зависимость от угла и мы интересуемся только значением модуля Тогда

Это соответствует тому, что за элемент площади можно взять площадь кольца радиусом и шириной т. е.

Аналогично в случае трех случайных величин при равномерном распределении каждой величины распределение в объеме также будет равномерным и, следовательно, вероятность будет пропорциональна элементу объема:

Если положение в таком пространстве характеризовать случайными величинами и связанными с формулами сферических координат (рис. 7):

то элемент объема необходимо также представить в сферических координатах, т. е. вместо следует написать:

Поэтому вероятность запишется так:

Если распределение в пространстве равномерное, то оно не зависит от углов и . И, чтобы найти распределение только по радиусу, нужно проинтегрировать по углам:

Этот же результат получится, если за элемент объема взять шаровой слой радиусом и толщиной

Таким образом, элемент пространства в случае изотропной величины можно заменить шаровым слоем

Рис. 7. Переход от декартовых координат к сферическим

Тогда вероятность найти случайную величину в таком пространстве на расстоянии от начала координат, несмотря на равномерное распределение по осям величин будет квадратичной функцией

Подобное преобразование будет встречаться всякий раз, когда мы будем искать распределение модуля случайной векторной величины.

В общем случае произвольных координат переход между элементами объема определяется якобианом преобразования I по формуле

где

Рассмотренные в настоящем параграфе геометрические интерпретации непрерывных случайных величин можно применять и к дискретной случайной величине если интервал можно считать много большим разности между дискретными значениями

Рассмотренные чисто геометрические преобразования функций распределения и элементов объема, часто встречающиеся в статистической физике, не нужно путать с физическими распределениями, отражающими определенные физические законы.

Нахождение функций распределения или статистических весов для физических величин является одной из важнейших задач статистической физики.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)