Глава II. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 1. Случайные события и случайные величины

Случайные явления. В природе и в жизни встречается много различных так называемых случайных явлений, т. е. таких явлений, которые могут произойти или не произойти, часто происходят неожиданно и результат которых заранее неизвестен. Поскольку неизвестно когда и как произойдет данное явление, то говорят, что оно зависит от случая, является случайным. Например, распад данного атомного ядра, излучение фотона атомом, вспышка на Солнце, вспышка звезды, столкновение данных молекул и т. д.

Эти физические явления случайные, так как они могут произойти или не произойти. При этом, конечно, нужно помнить, что любое случайное явление всегда обусловлено какими-либо причинами, одной или многими. Например,

распад атомного ядра обусловлен неустойчивым состоянием, возникшим благодаря внутриядерным процессам. Излучение фотона связано с переходом атомов из возбужденного состояния. Вспышка на Солнце определяется выделением большого количества энергии в данном месте фотосферы и т. д.

Однако мы не всегда можем уследить за теми причинами, которые привели к этому явлению. Мы не знаем, какие внутриядерные процессы и когда приведут к распаду данного ядра, не знаем, в какой момент в данном атоме произойдет переход электрона из возбужденного состояния в невозбужденное, не знаем, когда и где на солнечной поверхности сконцентрируется избыточная энергия и т. д. Поэтому для нас такие явления кажутся случайными, хотя на самом деле они причинно обусловлены.

Случайные события. Теория вероятностей имеет дело с так называемыми случайными событиями. Случайное событие — это более широкое понятие, чем просто случайное явление. Случайное событие может пониматься как появление того или иного признака, включать в себя то или иное свойство или характеристику процесса, а также и любое случайное явление. Например, случайное явление столкновения молекул будет случайным событием. Наличие у молекулы определенной скорости или определенного направления движения, число молекул в единице объема и их энергия также будут рассматриваться как случайные события.

При рассмотрении случайных событий можно выделить такие, которые происходят однажды. Это либо события, которые принципиально могут произойти только один раз, либо кажутся нам происходящими только один раз, из-за того, что мы рассматриваем их или в малом интервале пространства, или за малый промежуток времени. Например, ядро данного атома может распасться принципиально только один раз. За короткий промежуток времени атом может излучить только один фотон. Прохождение элементарной частицы через камеру Вильсона может быть единственным явлением из-за малости объема камеры и времени экспозиции.

В таких случаях мы имеем дело с единичными событиями и обычно бывает трудно предсказать место и кремя его наступлений. Такие единичные события как правило, не подчиняются каким-либо закономерностям.

Однако существуют и такие события, которые при наблюдении в больших масштабах пространства и времени оказываются повторяющимися или происходят с подобными объектами. Например, вспышки новых звезд в Галактике, распад ядер атомов урана, свечение газа и т. п. Одна и та же молекула газа за большой промежуток времени может много раз столкнуться со стенкой сосуда.

Такие события называются массовыми или однородными. Например, однородными событиями будут распады ядер — их много и какое-то обязательно распадется, а для нас все равно какое.

Как показал опыт, таким массовым или однородным событиям присущи свои определенные правила и закономерности. Эти закономерности, проявляющиеся только для большого числа однородных событий, получили название статистических закономерностей. Исследование таких закономерностей представляет предмет изучения теории вероятностей и любой статистической теории.

Для массовых, однородных и повторяющихся событий можно ввести понятие вероятности их появления.

Случайные величины. Случайное событие может заключаться в том, что какой-то параметр будет иметь определенную величину, определенное численное значение. Такие величины, значения которых зависят от случая, называются случайными величинами.

Например, случайное событие может заключаться в том, что определенная молекула обладает данной скоростью.

Действительно, скорость молекулы в газе изменяется в зависимости от столкновений с теми или другими молекулами газа или со стенкой. Для каждой молекулы такие столкновения являются случайными. Поскольку при этих случайных столкновениях скорость также будет изменяться случайно, то она будет случайной величиной.

Значения, которые может принимать случайная величина, могут иметь дискретный или непрерывный спектр (если случайная величина принимает только определенные значения или любые в некотором интервале). Например, момент количества движения электрона в атоме может принимать только дискретные значения, а скорость молекулы газа или плотность вещества могут принимать бесчисленное множество различных значений от нуля и практически до бесконечности.

Некоторые физические величины, будучи случайными, могут иметь как непрерывный, так и дискретной спектр значений. Например, энергия электрона в атоме может принимать только дискретные значения, а энергия того же электрона в свободном состоянии может принимать любые значения, т. е. изменяться непрерывно.

Статистические теории в основном рассматривают не сами случайные события, а соответствующие им случайные величины. Нужно помнить, что если некоторая случайная величина, то любая функция также будет случайной величиной. Например, если скорость молекулы является случайной величиной, то случайной величиной будет и ее кинетическая энергия. Знание закономерностей между случайными событиями позволяет получить определенные сведения о поведении или значениях тех или иных случайных физических величин.

Чтобы полностью охарактеризовать ту или другую случайную величину, необходимо знать перечень всех возможных значений этой случайной величины и вероятность каждого из этих значений.

Говорят, что задать все значения случайной величины вместе с их вероятностями, значит задать закон распределения или просто распределение этой случайной величины.